精彩，在理性分析之后

李懷金

同樣的輔助線，不同的說法，其證題功能有時卻大相徑庭。下面以例說明之。

例1 求證：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

已知：如右圖1，在△ABC中，DA=BD，DE∥AC。

求證：EB=EC。

初步設想：在探討本題證法的過程中，學生A提出了如右圖2的初步設想：延長DE到M，使EM=ED，連結MC。若能證明△DBE≌△MCE，問題便可迎刃而解，然而“左沖右撞”的學生連連失敗，紛紛叫難。

理性分析：欲證明△DBE≌△MCE，已經具備的條件有：ED=EM，∠1=∠2。根據全等三角形的判斷方法，現有三條路可走：①證明EB=EC，而它恰是要求證的，此路不通。②證明∠B=∠4，需要條件MC∥AB。③證明∠3=∠M，也需要條件MC∥AB。顯然MC∥AB已成為解題的關鍵，那么，如何才能具備這一條件呢？

方法優化：根據以上分析，學生B大膽地改變了輔助線的說法：過點C作CM∥AB，交DE的延長線于點M。此法立即遭到學生A的反對：“按照這種說法，證明△BDE全等于△CME就沒有‘邊相等的條件了。”真的如此嗎？∵DM∥AC，CM∥AB，∴四邊形DMCA是平行四邊形，∴CMAD。又∵DA=BD，∴MCDB。于是證明△DBE≌△MCE就易如反掌了。

解后反思：同樣的輔助線，不同的說法，其作用卻相差甚遠，為什么呢？前一種說法只能得出兩個條件：∠1=∠2和DE=EM。而后一種說法則可以得出三個條件：MC=BD，∠1=∠2和BD∥MC。尤為重要的是，它具備了解題的關鍵條件：BD∥MC。后一種說法為什么可以多推出一個條件呢？因為它有效地利用了已知條件DE∥AC，得出四邊形DMCA是平行四邊形，進而得出MCAD。

例2 如圖3，E是矩形ABCD上一點，且EB=ED，P是對角線BD上任意一點，PF⊥BE于點F，PG⊥AD于點G。

求證：AB=PF+PG。

證法初探：如圖4，過點P作PM⊥BC，垂足為M，∵EB=ED，∴∠1=∠2，∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3。又P是BD上任意一點，∴PF=PM，∵GM=GP+PM，GM=AB，∴AB=PF+PG。

理性分析：乍一看，此證法準確無誤，若細細思考，會發現它并不嚴謹。只有當G、M、P三點在同一直線上時，GM=GP+PM才成立，因而須補證G、M、P三點在同一直線上。左思右想之后，學生依然對證明G、M、P三點在同一直線上束手無策。

方法優化：這時，有一部分學生想到了改變輔助線的說法：延長GP交BC于點M，∵AD∥BC，PG⊥AD，∴PM⊥BC。這樣，既具備了PM⊥BC，又不需證明G、M、P三點在同一直線上，可謂一箭雙雕。

解后反思：后一種說法之所以具有一石二鳥的作用，因為它整合了條件AD∥BC和PG⊥BC，得出PM⊥BC，從而使證法變得簡潔明了。

能準確地作出輔助線，需要理性分析，改變輔助線的說法，使其具有多種功能，也需要理性思考。通過有理有據的分析，準確地把握條件之間的邏輯關系，快速地抓住解題的關鍵，有效地整合已知條件，大膽地改變輔助線的說法，變“一線一能”為“一線多能”，從而高效、優質地解決問題。但愿在這一過程中，學生能感悟到數學的理性之光、靈動之氣和簡約之美。

（作者單位：安徽省臨泉縣迎仙中心校）