例析“或的恒成立問題”

程玲

已知命題A：p或q恒成立；命題B：“p恒成立”或“q恒成立”。請問，命題A與命題B互為充要條件嗎？

那么，取C=（-∞，1）。令p=（-∞，0]，q=[0，+∞），則C？哿p∪q成立。但C？哿p不成立，且C？哿q不成立，所以A與B不等價。

那么，如何解決“或的恒成立問題”呢？請看下面例題。

例1 若|ax3-lnx|≥1對？坌x∈（0，1]都成立，則求a的取值范圍。

解法一（將絕對值看成一個函數的整體進行研究）：

令φ（x）=ax3-lnx，

①當a≤0時，φ（x）在（0，1]上單調，φ（x）=

+∞，φ（1）=a<0，所以φ（x）的值域為：[a，+∞），因為a≤0，所以|φ（x）|的值域為[0，+∞）；所以不成立。

②當a>0時，φ，（x）=3ax2-=（x3-），所以φ（x）在0，上單調遞減，在，∞上單調遞增。因為φ（1）≥1，所以a≥1，所以<1，所以φ（x）在0，上單調遞減，在，1上單調遞增。所以φ（x）min=φ，依題意，φ≥1，所以a≥。

綜上：a≥。

解法二（求命題的否定所對應的集合，再求該集合的補集）：

命題“|ax3-lnx|≥1對？坌x∈（0，1]都成立”的否定是“|ax3-lnx|<1在（0，1]上有解”。

|ax3-lnx|<1在（0，1]上有解？圯-1

令t（x）=，x∈（0，1]。

t′（x）==>0，所以t（x）=在（0，1]上單調遞增，又∵t（x）=-∞，所以t（x）無最小值。所以a∈R；

令m（x）=，m′（x）==，

所以m（x）在（0，e-）上單調遞增，在（e-，1）上單調遞減。

所以m（x）max=m（e-）=，所以a<。

因為|ax3-lnx|<1在（0，1]上有解時，a<；

所以|ax3-lnx|≥1對？坌x∈（0，1]都成立時，a≥。

例2 x2+25+|x3-5x2|≥ax在[1，2]上恒成立，則求a的取值范圍。

解（除了例1的兩種解法，還可以根據“題情”特題特解）：

令f（x）==x++|x2-5x|，則x2+25+

|x3-5x2|≥ax在[1，2]上恒成立等價于求a≤f（x）min。

令g（x）=x+，x∈[1，2]，t（x）=|x2-5x|，x∈[1，2]。

則f（x）=x++|x2-5x|=g（x）+t（x），x∈[1，2]，

易知g（x）min=g（5）=10；t（x）min=t（5）=0，所以f（x）min=f（5）=10。

練習：x+|x-2a|>1的解集為R，求a的取值范圍。

答案：a的取值范圍是（，+∞）。

總結：“或的恒成立”的解決通法為求命題的否定命題所對應的集合，再求該幾何的補集。但是該方法在實際解決問題的過程中有時候會過于麻煩，所以還需要像例2這樣特題特解。

（作者單位：湖北省襄陽五中）