K0固結(jié)天然飽和黏土中柱孔擴(kuò)張彈塑性解

李 林，李鏡培，龔衛(wèi)兵，張凌翔

(1. 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(同濟(jì)大學(xué))，上海 200092； 2. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092)

K0固結(jié)天然飽和黏土中柱孔擴(kuò)張彈塑性解

李 林1,2，李鏡培1,2，龔衛(wèi)兵1,2，張凌翔1,2

(1. 巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(同濟(jì)大學(xué))，上海 200092； 2. 同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海 200092)

為研究天然飽和黏土中圓孔不排水?dāng)U張引起的土體力學(xué)響應(yīng)，考慮天然飽和黏土的K0固結(jié)特性、應(yīng)力歷史及柱孔擴(kuò)張過(guò)程中徑向、環(huán)向和豎向應(yīng)力之間的關(guān)系，基于修正劍橋模型和大變形理論，結(jié)合彈塑性邊界條件推導(dǎo)了K0固結(jié)飽和天然黏土中柱孔不排水?dāng)U張問(wèn)題的彈塑性解析解，并與既有數(shù)值解答進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證.在此基礎(chǔ)上，通過(guò)與以往基于初始應(yīng)力各向同性假設(shè)下的柱孔擴(kuò)張解答進(jìn)行對(duì)比分析，研究了土體K0固結(jié)特性和應(yīng)力歷史對(duì)柱孔擴(kuò)張過(guò)程中土體應(yīng)力和塑性區(qū)半徑的影響.研究結(jié)果表明:本文提出的柱孔擴(kuò)張彈塑性解答與既有基于嚴(yán)格本構(gòu)關(guān)系的數(shù)值解基本一致，且可以退化為基于初始應(yīng)力各向同性假設(shè)條件下的解答；土體K0固結(jié)特性和應(yīng)力歷史對(duì)柱孔擴(kuò)張過(guò)程中周?chē)馏w應(yīng)力場(chǎng)和塑性區(qū)半徑存在一定程度的影響，特別對(duì)極限擴(kuò)張壓力的影響較為明顯，且其影響程度均隨初始各向異性的增加而增大.研究結(jié)果為天然飽和黏土地基靜壓沉樁、旁壓試驗(yàn)提供了一定的理論依據(jù).

初始應(yīng)力各向異性；應(yīng)力歷史；修正劍橋模型；柱孔擴(kuò)張；彈塑性解析解

柱孔擴(kuò)張理論由于形式簡(jiǎn)單，力學(xué)原理明確，因此在巖土工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-4].然而，受理論及本構(gòu)模型的限制，早期柱孔擴(kuò)張解答多數(shù)假設(shè)土體為各向同性的理想彈塑性材料，且在解答過(guò)程中忽略豎向應(yīng)力作用，僅考慮徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力來(lái)求解孔周土體的應(yīng)力和位移[5-9].劍橋模型由于不僅可以綜合考慮土體各應(yīng)力之間的相互關(guān)系，同時(shí)可以體現(xiàn)土體剪切變形和剪切破壞的一致性，因此被廣泛應(yīng)用于柱孔彈塑性擴(kuò)張研究中.如：Collins等[10-11]基于相似分析方法，采用原始劍橋模型和修正劍橋模型推導(dǎo)了初始應(yīng)力各向同性土體中圓孔排水和不排水?dāng)U張問(wèn)題的彈塑性解答；Yu[12]系統(tǒng)總結(jié)了初始應(yīng)力各向同性土體中圓孔擴(kuò)張問(wèn)題的各類(lèi)解答，并詳細(xì)介紹了圓孔擴(kuò)張理論在巖土工程中的應(yīng)用；Cao等[13]、李鏡培等[14]在初始應(yīng)力各向同性假設(shè)的基礎(chǔ)上，基于修正劍橋模型推導(dǎo)了圓孔擴(kuò)張問(wèn)題的半解析半數(shù)值解答；Chen等[15]基于修正劍橋模型，從嚴(yán)格的彈塑性本構(gòu)關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)了K0固結(jié)土體中柱孔不排水?dāng)U張問(wèn)題的數(shù)值解答，但其解答過(guò)程較為繁瑣，不易推廣和應(yīng)用.可以看出，盡管目前基于劍橋模型的柱孔擴(kuò)張解答考慮了柱孔擴(kuò)張過(guò)程中各應(yīng)力之間的相互關(guān)系，但其解答均沒(méi)有考慮到K0固結(jié)特性對(duì)柱孔擴(kuò)張過(guò)程中土體力學(xué)行為的影響，進(jìn)而無(wú)法體現(xiàn)天然飽和黏土中柱孔彈塑性擴(kuò)張的本質(zhì).

由于受沉積環(huán)境和固結(jié)環(huán)境的影響，天然狀態(tài)下黏性土多處于K0固結(jié)狀態(tài).由于初始應(yīng)力各向異性對(duì)土體的力學(xué)特性存在較大影響，因此實(shí)際工程中對(duì)應(yīng)的圓孔擴(kuò)張問(wèn)題需考慮土體的K0固結(jié)特性.鑒于此，本文采用修正劍橋模型，在充分考慮土體K0固結(jié)特性和應(yīng)力歷史的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了天然飽和黏土中柱孔不排水?dāng)U張問(wèn)題的彈塑性解析解答，并在與Chen等[15]基于精確本構(gòu)關(guān)系的數(shù)值解答對(duì)比驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，詳細(xì)研究了土體初始應(yīng)力各向異性對(duì)柱孔擴(kuò)張過(guò)程的影響.

1 柱孔擴(kuò)張力學(xué)模型

如圖1所示，在內(nèi)壓力σa的作用下，初始半徑為a0的柱孔在水平向應(yīng)力和豎向應(yīng)力分別為σh0和σv0的K0固結(jié)初始應(yīng)力各向異性飽和黏土體中不排水?dāng)U張，隨著內(nèi)壓力σa的不斷增加，孔徑從a0擴(kuò)張至a，孔壁土體將首先發(fā)生屈服，由彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)，進(jìn)而在柱孔周?chē)纬梢欢ǚ秶乃苄詤^(qū).以au表示柱孔最終半徑，以ry表示柱孔擴(kuò)張過(guò)程中對(duì)應(yīng)的塑性區(qū)半徑，塑性區(qū)邊界的徑向位移以Ury表示.在整個(gè)求解過(guò)程中假定應(yīng)力以壓為正，且彈性區(qū)土體服從胡克定律和小變形假定，土體進(jìn)入塑性后采用大變形理論和MCC模型來(lái)描述土體的力學(xué)特性.

(1)

式中K0為土體靜止側(cè)壓力系數(shù)，其大小反映了土體初始應(yīng)力各向異性程度.

在柱孔不排水?dāng)U張的任何階段，孔周土體中任一單元體都滿足平衡方程：

(2)

圖1 柱孔擴(kuò)張力學(xué)模型

2 柱孔擴(kuò)張彈塑性解答

2.1 彈性區(qū)解答

由彈性應(yīng)力、應(yīng)變和位移之間的相互關(guān)系，并考慮土體初始水平向應(yīng)力σh0和初始豎向應(yīng)力σv0之間的關(guān)系，可得彈性區(qū)位移解答[13]：

(3)

進(jìn)而，由胡克定律和小變形關(guān)系可得孔周彈性區(qū)應(yīng)力分量σr，σθ和σz的表達(dá)式[13]：

(4)

(5)

σz=σv0.

(6)

在柱孔不排水?dāng)U張條件下，土體體積不發(fā)生變化，因此，彈性區(qū)土體體應(yīng)變可表示為

(7)

由式(7)可知，在擴(kuò)孔過(guò)程中彈性區(qū)平均有效主應(yīng)力p′保持不變，且由式(4)～(6)可知彈性區(qū)平均總主應(yīng)力p亦保持不變，則根據(jù)有效應(yīng)力原理可得彈性區(qū)超孔隙水壓力為零，即：

u=u0,

(8)

式中u0為初始孔隙水壓力.

2.2 彈塑性邊界

隨著擴(kuò)張內(nèi)壓力的不斷增加，孔壁處土體首先屈服進(jìn)入塑性狀態(tài).文獻(xiàn)[15]根據(jù)屈服面之間的幾何關(guān)系，給出了可以考慮土體K0固結(jié)特性的修正劍橋模型，其屈服準(zhǔn)則可表示為[15]

(9)

(10)

sij=σij-pδij.

(11)

式中sij為偏應(yīng)力張量，δij為克朗內(nèi)克符號(hào).

(12)

(13)

在彈塑性邊界處，彈性解答仍然成立，故由式(4)～(6)和式(8)可得彈塑性邊界處應(yīng)力分量σry，σθy和σzy之間存在如下關(guān)系：

σry+σθy=σr0+σθ0=2σh0,

(14)

σzy=σz0.

(15)

由式(10)可知，彈塑性邊界處的廣義偏應(yīng)力qy同樣可表示為

(16)

聯(lián)立式(14)～(16)可解得：

(17)

(18)

(19)

將式(17)代入式(3)可得彈塑性邊界處的位移：

(20)

由于半無(wú)限體中柱孔擴(kuò)張為平面應(yīng)變問(wèn)題，故柱孔擴(kuò)張過(guò)程中不產(chǎn)生豎向應(yīng)變?chǔ)舲，即：

εz=0.

(21)

在不排水條件下，體應(yīng)變?chǔ)舦=0，故軸向應(yīng)變?chǔ)舝和環(huán)向應(yīng)變?chǔ)纽戎g存在如下關(guān)系：

εr=-εθ.

(22)

為考慮樁周土體進(jìn)入塑性狀態(tài)后的大變形效應(yīng)，采用對(duì)數(shù)應(yīng)變將柱孔周?chē)苄詤^(qū)內(nèi)土體應(yīng)變分量表示為：

(23)

(24)

將式(21)和式(22)代入式(24)，在塑性區(qū)內(nèi)積分，并考慮孔壁的初始條件和彈塑性邊界條件可得：

(25)

式中ry0為ry對(duì)應(yīng)的初始半徑位置.

考慮到在不排水條件下土體體積守恒，故彈塑性邊界處位移Ury=ry-ry0，則式(25)可進(jìn)一步表示為

(26)

(27)

2.3 塑性區(qū)解答

(28)

式中λ為各向同性加載曲線在υ-lnp′平面上的斜率.

(29)

將式(9)代入式(29)可得：

(30)

式中Λ=1-κ/λ為塑性體應(yīng)變比.

(31)

(32)

由于平衡微分方程式(2)在塑性區(qū)仍成立，故柱孔擴(kuò)張后孔周塑性區(qū)內(nèi)任意位置處總應(yīng)力σrx可通過(guò)積分式(2)得到：

(33)

(34)

圖2 孔周假設(shè)偏應(yīng)力分布與實(shí)際情況對(duì)比

Fig.2 Comparisons of derivative stress distributions around cavity between assumed and actual cases

(35)

同時(shí)，基于上述假設(shè)，式(34)可進(jìn)一步表示為

(36)

將式(35)代入式(36)，并在塑性區(qū)內(nèi)積分可得孔周塑性區(qū)內(nèi)徑向總應(yīng)力為

(37)

將式(34)和式(37)代人式(32)，可得塑性區(qū)環(huán)向總應(yīng)力和豎向總應(yīng)力的解析式：

(38)

(39)

根據(jù)有效應(yīng)力原理，結(jié)合式(37)～(39)和式(31)，可得塑性區(qū)內(nèi)任意位置處的超孔隙水壓力Δurx為

(40)

令式(37)和式(40)中rx=a，可得孔壁處的擴(kuò)孔壓力σa和孔壁處的超孔隙水壓力Δua：

(41)

(42)

當(dāng)a/a0→時(shí)，從式(41)和式(42)可得孔壁極限擴(kuò)孔壓力σrult和孔壁處的極限超孔隙水壓力Δuault：

(43)

(44)

值得注意的是：若令式(37)～(44)中K0=1，則土體為各向同性體，本文解答可退化為各向同性體中柱孔不排水?dāng)U張解答，與文獻(xiàn)[13]所得出的各向同性土體中柱孔擴(kuò)張解答完全一致，說(shuō)明文獻(xiàn)[13]的解答是本文解答的一個(gè)特例.

3 驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證本文所得解答的正確性和合理性，同時(shí)為分析K0固結(jié)特性和應(yīng)力歷史對(duì)柱孔擴(kuò)張過(guò)程的影響，本文選取不同K0固結(jié)條件下的3種飽和黏土進(jìn)行分析，其土體參數(shù)取值均引自文獻(xiàn)[15]，具體數(shù)值見(jiàn)表1.

表1 土體參數(shù)取值[15]

此外，根據(jù)文獻(xiàn)[15]，4種土體臨界狀態(tài)線CSL斜率M=1.2，初始K0固結(jié)曲線斜率λ=0.15，回彈曲線的斜率κ=0.03，泊松比ν=0.278.

3.1 對(duì)比驗(yàn)證

圖3(a)～(c)為本文解析解與文獻(xiàn)[15]所得不同初始應(yīng)力各向異性土體中柱孔不排水?dāng)U張后孔周土體應(yīng)力分布的對(duì)比，圖中橫坐標(biāo)軸均為對(duì)數(shù)坐標(biāo).

圖3 孔壁周?chē)鷳?yīng)力分布解析解與數(shù)值解對(duì)比

Fig.3 Comparisons of stress distributions around cavity between numerical solution and analytical solution

從圖3可見(jiàn)，本文解析解答與基于嚴(yán)格本構(gòu)關(guān)系的數(shù)值解在靠近孔壁的塑性區(qū)內(nèi)吻合良好，僅在遠(yuǎn)離孔壁的彈塑性邊界處兩者存在一些差異.然而，對(duì)于靜壓沉樁和靜力觸探等巖土工程問(wèn)題，多關(guān)注靠近孔壁處的應(yīng)力分布，因此本文解答可以滿足一般工程問(wèn)題的需要.

同時(shí)，從圖3可見(jiàn)，初始應(yīng)力各向異性飽和黏土中柱孔不排水?dāng)U張引起孔壁周?chē)馏w應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生較大變化，且隨距孔壁距離的增加，土體應(yīng)力變化逐漸減小，在彈性區(qū)內(nèi)趨于初始應(yīng)力狀態(tài).

3.2 柱孔擴(kuò)張過(guò)程分析

圖4～6分別給出了初始應(yīng)力各向異性黏土中柱孔不排水?dāng)U張過(guò)程中孔壁壓力σa、孔壁超孔壓Δua及塑性區(qū)半徑ry隨當(dāng)前孔徑a的變化規(guī)律，圖中變量均采用無(wú)量綱化形式表示.

從圖4可見(jiàn)，孔壁壓力σa在柱孔擴(kuò)張初期(a/a0<2)迅速增大，之后(a/a0≥2)孔壁壓力σa增長(zhǎng)緩慢且逐步趨于臨界狀態(tài)，當(dāng)a/a0≥5時(shí)，孔壁壓力趨于穩(wěn)定，土體進(jìn)入臨界狀態(tài).

圖4 柱孔擴(kuò)張過(guò)程中孔壁應(yīng)力變化

圖5 柱孔擴(kuò)張過(guò)程中孔壁超孔隙水壓力變化

Fig.5 Variations of excess pore water pressures at cavity wall during cavity expansion

圖6 柱孔擴(kuò)張過(guò)程中塑性區(qū)半徑變化

從圖5可知，與孔壁壓力σa相對(duì)應(yīng)，孔壁處的超孔壓在柱孔擴(kuò)張初期隨孔徑的增大而迅速增大，此后逐步趨向于恒定值.值得注意的是，對(duì)于超固結(jié)土(OCR>1),在柱孔擴(kuò)張初期孔壁處首先產(chǎn)生負(fù)超孔壓，之后隨孔徑的增大，超孔壓由負(fù)值轉(zhuǎn)變?yōu)檎担抑鸩节呄蛴谂R界值，這一現(xiàn)象與文獻(xiàn)[13，15]分析所得規(guī)律一致.

從圖6可看出，塑性區(qū)半徑ry在柱孔擴(kuò)張過(guò)程中隨孔徑a的變化規(guī)律與孔壁壓力σa和孔壁超孔隙水壓力Δua隨孔徑的變化規(guī)律一致，均是在擴(kuò)孔初期變化較大，之后逐步趨于定值.

除以上規(guī)律外，圖4～6亦給出了基于各向同性假設(shè)的解答[13]和本文考慮初始應(yīng)力各向異性解答之間的差異.可以看出，初始應(yīng)力各向異性和應(yīng)力歷史對(duì)柱孔擴(kuò)張過(guò)程有明顯的影響，特別是對(duì)柱孔擴(kuò)張過(guò)程中極限擴(kuò)張壓力的影響最為明顯.

4 結(jié) 論

本文針對(duì)K0固結(jié)初始應(yīng)力各向異性土體中柱孔不排水?dāng)U張問(wèn)題，采用修正劍橋模型在考慮土體K0固結(jié)特性和應(yīng)力歷史的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了柱孔不排水?dāng)U張的彈塑性解析解.在與既有基于嚴(yán)格本構(gòu)關(guān)系的數(shù)值解對(duì)比驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，分析了K0固結(jié)特性及應(yīng)力歷史對(duì)柱孔擴(kuò)張的影響，得出如下結(jié)論：

1)K0固結(jié)黏土中柱孔不排水?dāng)U張引起孔壁周?chē)馏w應(yīng)力狀態(tài)發(fā)生較大變化，且孔周應(yīng)力隨距徑向距離的增加呈對(duì)數(shù)規(guī)律衰減，在彈性區(qū)逐漸趨向于初始應(yīng)力狀態(tài).

2)孔壁壓力、超孔隙水壓力和塑性區(qū)半徑在柱孔不排水?dāng)U張的初始階段變化較大，之后隨孔徑的增大而逐步趨向于臨界狀態(tài).

3)土體初始應(yīng)力各向異性對(duì)孔壁壓力、超孔隙水壓力及塑性區(qū)半徑存在一定程度的影響，特別對(duì)極限擴(kuò)張壓力存在較大影響，且其影響程度隨土體各向異性的增加而增大.

[1]VESIC A S. Expansion of cavity in infinite soil mass [J]. Journal of Soil Mechanics Foundation Division, American Society of Civil Engineering, 1972, 98(3): 265-289.

[2] RANDOLPH M F, CARTER J P, WROTH C P. Driven piles in clay-the effects of installation and subsequent consolidation[J]. Géotechnique, 1979, 29(4): 361-393.

[3] SAGASET A C. Analysis of undrained soil deformation due to ground loss[J]. Géotechnique, 1987, 37(3): 301-320.

[4] SAGASET A C. Prediction of ground movements due to pile-driving in clay[J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, 2001, 127(1): 55-66.

[5] RANDOLPH M F. Science and empiricism in pile foundation design[J]. Géotechnique, 2003, 53(10): 847-875.

[6] HILL R. The mathematical theory of plasticity[M]. London: Oxford University Press, 1950.

[7] CHADWICK P. The quasi-static expansion of spherical cavity in metals and ideal soils[J]. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 1959, 12: 52-71.

[8] CATER J P, RANDOLPH M F, WROTH C P. Stress and pore pressure changes in clay during and after the expansion of a cylindrical cavity[J]. International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1979, 3(4): 305-322.

[9] YU H S, HOULSBY G T. Finite cavity expansion in dilatants soils: loading analysis[J]. Géotechnique, 1991, 41(2): 173-183.

[10]COLLINS I F, STIMPSON J R. Similarity solutions for drained and undrained cavity expansions in soils[J]. Géotechnique, 1994, 44(1): 21-34.

[11]COLLINS I F, YU H S. Undrained cavity expansions in critical state soils[J].International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, 1996, 20(7): 489-516.

[12]YU H S. Cavity expansion methods in geomechanics[M]. Kluwer Academic Publishers, 2000.

[13]CAO L F, TEH C I, CHANG M F. Undrained cavity expansion in modified Cam Clay I: theoretical analysis [J]. Géotechnique, 2001, 51 (4): 323-334.

[14]李鏡培, 唐劍華, 張亞國(guó), 等. 飽和粘土中球孔擴(kuò)張問(wèn)題彈塑性解析[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 46(12): 71-77. LI Jingpei, TANG Jianhua, ZHANG Yaguo, et al. elastic-plastic solution of sphere cavity expansion in saturated clay[J]. Journal of Harbin institute of technology, 2014, 46(12): 71-77.

[15]CHEN S L, ABOUSLEIMAN Y N. Exact undrained elasto-plastic solution for cylindrical cavity expansion in modified Cam Clay soil[J]. Géotechnique, 2012, 62(5): 447-456.

Elasto-plastic solution to expansion of a cylindrical cavity inK0-consolidated natural saturated clay

LI Lin1,2，LI Jingpei1,2，GONG Weibing1,2，ZHANG Lingxiang1,2

(1.Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering (Tongji University), Ministry of Education, Shanghai 200092, China; 2.Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

To study the mechanical responses induced by undrained expansion of a cavity in natural clay soils, considering theK0-consolidated property and the stress history of the natural saturated clay, as well as the relationship among the radial, tangential, and vertical stresses, an elasto-plastic analytical solution to the undrained cylindrical cavity expansion inK0-consolidated saturated natural clay, which was under the initial stress anisotropic condition, was derived based on the modified Cam-clay (MCC) model, large-deformation theory and the elastic-plastic boundary conditions. The solution presented in this paper was verified by the well-documented numerical solution and compared with the previous initial stress isotropy assumption based solution. The effect of theK0-consolidated property and stress history on the stress fields and the plastic radius during the cavity expansion process was discussed in detail. The results show that the present closed-form elasto-plastic solution matches the numerical solution fairly well, and the present solution can be reduced to the initial stress isotropy assumption based solution. TheK0-consolidated property has a significant effect on the stress fields around the cavity during the cavity expansion process, especially on the limit cavity expansion pressure. The effect of the initial stress anisotropy on cavity expansion increases with the degree of the initial stress anisotropy. This paper provides a theoretical benchmark for pile installation and pressuremeter test in natural clay soils.

initial stress anisotropy; stress history; MCC model; cylindrical cavity expansion; elasto-plastic analytical solution

(編輯 趙麗瑩)

2016-02-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(41272288)

李 林(1986—)，男，博士研究生; 李鏡培(1963—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

李鏡培，lijp2773@tongji.edu.cn

10.11918/j.issn.0367-6234.201602038

TU473

A

0367-6234(2017)06-0090-06