鋼筋混凝土梁柱節點超自由度單元

方自虎，李向鵬，簡旭陽，洪博愷

(深圳大學 土木工程學院，廣東 深圳518060)

鋼筋混凝土梁柱節點超自由度單元

方自虎，李向鵬，簡旭陽，洪博愷

(深圳大學 土木工程學院，廣東 深圳518060)

為分析RC框架結構在循環荷載作用下的非線性滯回性能，提出一個新的鋼筋混凝土梁柱節點單元——“超自由度單元”.單元在梁與節點交界面和柱與節點交界面被劃分成“節點截面”和“梁柱截面”，節點的力學性能由4節點單元描述，而梁柱受力鋼筋與節點核心區的粘結滑移由存在于“節點截面”和“梁柱截面”之間的8根彈簧控制.單元具有4個外節點和4個內節點，每個內節點具有2個自由度，每個外節點具有3個自由度，該3個自由度與普通梁單元一致，從而確保本單元適合于同普通一維梁柱單元一起進行鋼筋混凝土結構平面非線性分析.將內節點上的自由度依附到外節點上，單元在數值表現上具有4個節點20個自由度.通過試驗和模擬分析結果對比，結果表明：結構極限承載能力和滯回曲線的捏攏特性都能被單元很好模擬，同時計算機的運行時間非常少.本模型適合于進行循環荷載作用下平面框架結構非線性響應分析.

梁柱節點單元；鋼筋混凝土；框架結構；循環荷載；非線性分析;滯回性能

鋼筋混凝土結構的梁柱節點單元[1]，根據節點變形和受力機理，將節點從功能上區分為節點核心區剪切塊的剪切變形、梁柱與核心區交界面的剪切變形和梁柱受力鋼筋與核心區混凝土的粘結滑移三大功能組成部分，并分別用三組共13根一維彈簧來描述該三大組成部分的材料模型.由于該單元的組成方式不同于一般單元，因此，該節點單元被稱為“超級單元”.其中，核心區剪切塊假定受純剪切作用，因此用一根彈簧描述剪力與剪切變形之間的關系；梁柱與核心區4個交界面剪力與剪切位移關系用4根彈簧描述；而位于節點兩邊的梁上下部鋼筋以及位于節點上下的柱左右兩邊鋼筋共用8根彈簧描述鋼筋與核心區混凝土之間的粘結滑移關系.

對于超級單元核心區剪切塊材料模型怎樣建立，不同的學者有不同的主張.超級單元的建立者[1-2]根據MCFT理論[3]，利用有限元方法計算核心區的剪力和剪切變形之間的關系.LaFave等[4]則依據試驗統計資料，根據統計分析模型建立的經驗公式確定該材料的物理關系.從而可知，超級單元中核心區的剪切材料模型怎樣建立，對于超級單元的使用者來說是一個難點.

為了避免核心區剪切材料物理關系建立的困難，本文將超級單元的核心區用平面四節點單元代替，同時考慮梁柱鋼筋與核心區混凝土的粘結滑移作用，建立一種新的基于平面4節點單元的梁柱節點單元，并在商業平臺ABAQUS上開發了應用程序.新單元的核心區材料模型由鋼筋和混凝土材料根據平面應力狀態的MCFT理論[5]建立，不需要使用者提供額外的剪切與剪切變形關系，避免了使用超級單元時不易提供剪切物理關系的困難.本單元與超級單元一樣，分析結構時，梁柱由一般梁柱單元模擬，因此，本單元的節點自由度與一般梁柱單元的節點自由度能夠順利銜接.通過循環荷載下鋼筋混凝土內、邊和角框架3個節點的試驗結果數值分析，驗證了本單元的有效性.

1 節點單元構成

本單元由4個外節點和4個內節點組成，其中外節點的自由度為3個，與普通梁單元自由度一致，見圖1；而內節點自由度與普通平面應力單元的自由度一致，內節點自由度見圖2.圖1中，外部的數字代表外節點編號，內部的數字則代表內節點編號.

圖1 單元的節點和自由度

考慮鋼筋粘結滑移和梁柱與節點交界面裂縫影響，本節點單元將節點與梁柱交界面處截面，分成“節點截面”和“梁柱截面”(圖1)，節點中鋼筋與混凝土之間的粘結滑移關系由梁柱截面和節點截面上的自由度一起反映.

本節點的構成思想是：針對文獻[1]超級單元中反映核心區剪切，改由平面四節點單元代替，而反映梁柱受力鋼筋與混凝土粘結滑移的8根彈簧，以及節點與核心區交界面的4個剪切彈簧，本單元保留，即本單元由一個四節點平面單元組合8根粘結滑移彈簧和4根剪切彈簧而成.

由于內外節點的自由度不同，不利于在通用商業平臺上進行二次開發，因此，本文將內節點的自由度“依附”到外節點上，形成一種“超自由度”形式，故不妨稱本梁柱節點單元為“超自由度”單元.經過上述自由度依附之后，在數值表現上，本文的梁柱節點單元為：“單元具有4個節點，每個節點具有5個自由度”的單元幾何構造.程序實現時，以單元的外節點作為單元節點，內節點按照圖1形式由程序內定形成.

超自由度單元的節點位移向量為

(1)

式中Di為i(i=1～4)節點的超級自由度向量，以節點1為例：

(2)

式中前3個自由度Δ1、Δ2和Δ3屬于外節點，后2個自由度u1和v1屬于內節點，即內節點1的水平和豎向位移(圖2)，式(1)中其余3個節點的自由度向量依次類推.

超級自由度的實現方式，以通用商業平臺ABAQUS為例，單元節點前13個自由度具有固定意義，如1至6自由度分別為X、Y和Z坐標方向的位移和轉角.式(2)中前3個自由度正好對應1、2和6，而式(2)中后2個自由度可以采用14和15，對應的輸入命令如下：

*USER ELEMENT, NODES=4, TYPE=U4, ……

1,2,6,14,15

內節點單元為普通的平面應力單元，見圖2.hb為節點的高度，也即梁高；hc為節點的寬度，即柱寬.下面分別從變形關系、平衡關系和物理關系來介紹本單元，并在該三大關系的基礎上導出單元剛度矩陣和節點抗力向量.

圖2 節點核心區單元

2 梁柱截面與節點截面變形關系

節點截面與梁柱截面之間的變形關系見圖3，其中ri(i=1～4)為剪切變形，Si(i=1～8)為鋼筋與混凝土之間的粘結滑移變形，該變形也就是模擬粘結滑移彈簧的伸長量.

顯然，剪切變形與節點自由度之間有如下關系：

(3)

假定fb和fc分別為梁上下鋼筋間距和柱子兩側鋼筋間距與截面高度的比值，即fbhb(hb見圖2)為梁上下鋼筋之間的間距[1].

圖3 兩截面之間的位移關系

令：αc=0.5hcfc、βc=(1+fc)/2、γc=(1-fc)/2，相應的αb，βb和γb僅是將式中下標c改為b即可，則彈簧伸長量與節點自由度有如下關系：

(4)

3 平衡關系

單元的節點抗力向量為

F={f1f2f3f4}T.

(5)

式中:f1={F1F2F3X1Y1}T為對應節點1超級自由度向量D1的節點抗力向量，其余3個節點的抗力向量依次類推.Fi與圖3節點位移Δi相對應；Xi和Yi與圖2中節點位移ui和vi相對應；8根粘結滑移彈簧力用Pi表示，Pi與圖3彈簧伸長Si相對應；模擬截面剪切變形的4根彈簧力用Qi表示，Qi與圖3剪切位移ri相對應.

粘結滑移彈簧力與單元節點抗力之間的平衡關系為

(6)

截面剪切彈簧力與單元節點抗力之間的平衡關系為

(7)

4 物理關系

本節點存在4種材料的物理關系：(1)平面單元的混凝土材料；(2)平面單元內鋼筋材料，包括節點內的箍筋和梁柱穿插于節點內的受力鋼筋；(3)梁柱受力鋼筋與節點核心區內混凝土之間的粘結滑移；(4)梁柱截面與節點截面之間的剪切變形物理關系.其中，(1)和(2)中混凝土材料采用MCFT理論建立物理關系[3,5]，鋼筋材料采用根據Ramberg-Osgood公式建立的滯回鋼筋模型[3，5]，兩種材料在商業平臺ABAQUS上的UMAT接口程序已經過數值檢驗[5-6].而(3)中的粘結滑移物理關系，由于超級單元使用的粘結滑移關系[1-2]已經過OpenSees大量用戶的檢驗，因此，在本節點上直接采用該材料模型.對于上述(4)變形關系[7]，由于本文的重點不在于建立這樣的剪切模型，因此，在本文的數值實現過程中假定該關系為線彈性的.

5 剛度矩陣

圖2所示的平面單元剛度矩陣為

(8)

式中：N是高斯積分點數，W(ξj)和W(ηm)為高斯積分權重，ξj和ηm為高斯點的自然坐標值，V是節點的體積，D是根據MCFT理論得到的混凝土材料應力應變雅可比矩陣[5]和根據滯回鋼筋模型得到的節點箍筋和梁柱受力鋼筋材料應力應變雅可比矩陣[5]，B是平面單元的應變矩陣，如式(9)所示.

(9)

式中

(10)

其余3個類推可得.式(8)建立的剛度矩陣為對應單元的內節點自由度部分，而單元的總剛度矩陣還要考慮8根粘結滑移彈簧和4根剪切彈簧引起的剛度.

粘結滑移彈簧剛度矩陣，以彈簧1為例，余者依次類推.將式(4)中彈簧1的位移S1寫成矩陣形式，有：

S1=Bs1Δs1,

(11)

式中：Bs1=[1αb-βb-γb]，Δs1是{Δ1Δ3u1u2}T.

此時彈簧的剛度記為Ds1，則其剛度矩陣為

(12)

同理，將式(3)的剪切彈簧變形寫成矩陣形式，以r1為例，則有：

r1=Br1Δr1,

(13)

式中：Br1=[1-0.5-0.5]，Δr1是{Δ2v1v2}T. 若剪切剛度記為Dr1，則其剛度矩陣為

(14)

將式(8)、(12)和(14)組合，即可得到節點單元的總剛度矩陣.

6 節點抗力向量

平面單元(圖2)在當前應力狀態下的節點抗力向量為

(15)

式中：X={N1N2N3N4}T，Ni即為{XiYi}T，σ為平面單元高斯點的應力向量.8根彈簧引起的節點抗力，仍然以彈簧1為例，由式(4)知，若彈簧1當前狀態的彈簧力為P1，則其引起的節點抗力向量為

(16)

式中：Fs1是{F1F3X1X2}T，Bs1同式(11).4根剪切變形彈簧引起的節點抗力向量，以r1為例則有：

(17)

式中：Fr1是{F2Y1Y2}T，而Q1為對應的剪力.組合式(15)、(16)和(17)即可得到總節點抗力向量.

7 力與位移關系

非線性問題的有限元求解過程中，對于每個荷載增量步每次循環，都需要求解下式：

K·δ=P-F.

(18)

式中：K即為由式(8)、(12)和(14)求得的當前循環步的單元剛度矩陣，δ為位移增量向量，P為當前增量步的總荷載向量，F為由式(15)、(16)和(17)求得的節點抗力向量.

8 驗 證

本文選擇內框架節點UNIT1[8]、邊框架節點UNIT3[9]和角框架節點KJ5[10]的試驗結果來驗證單元的有效性.下列算例中，梁柱單元采用ABAQUS的B21梁單元，梁柱鋼筋用rebar形式，即不考慮梁柱的鋼筋與混凝土間粘結滑移[5-6].梁柱單元采用分層法，混凝土材料采用OpenSees中的concrete01模型，即忽略混凝土拉應力.鋼筋的滯回模型采用Vecchio模型[5].

8.1 算例1-內框架節點UNIT1

本算例[8]是超級單元在OpenSees平臺上驗證的算例，相關試驗數據也可于OpenSees網站獲得.分析中節點每邊的梁柱都劃分10個單元，其中梁上荷載作用點到節點之間分4個單元(ABAQUS計算模型見圖4).

圖4 UNIT1分析模型

圖5給出UNIT1柱頂水平荷載和水平位移滯回曲線的試驗[8]與本文分析結果對比.可以看出，本文提出的單元，在節點承載能力、滯回曲線的捏攏效果上，基本能夠很好地描述試驗結果.而其在cpu主頻為2.5 GHz的intel i5內存8 G的筆記本電腦上“用戶運算時間”為110.40 s，運算效率應該是令人非常滿意的.

8.2 算例2-邊框架節點UNIT3

分析中梁和上下柱均分10個單元，圖6為梁端荷載與位移滯回曲線的試驗[9]和本文分析結果.

從圖6可看出，在承載能力、初始剛度和捏攏效果上，本文方法都基本能夠準確描述，說明本單元在邊節點上有著比較好的表現.

8.3 算例3-角框架節點KJ5

分析中梁柱均分10個單元，原試驗曲線是梁柱交界面上，梁截面彎矩與柱偏轉角之間的滯回曲線[10]，本文將該滯回曲線轉換為梁加載端剪力與軸向位移之間的滯回曲線.梁端受拉力時，角框架變形為“張開”，對應滯回曲線上的正位移與正剪力；梁端受壓力時，角框架變形為“閉合”，對應滯回曲線上的負位移與負剪力.滯回曲線的本文方法分析結果和試驗結果對比見圖7.

圖5 UNIT1試驗與分析滯回曲線對比

圖6 UNIT3試驗與分析滯回曲線對比

圖7 KJ5試驗與分析滯回曲線對比

從圖7可看出，在承載能力上，本文方法基本能準確描述.“張開”變形的強度描述基本準確，而在“閉合”變形后期加載時，結構強度嚴重退化，本文方法雖有反映，但退化程度與實際差距較大.

9 結 語

本文將鋼筋混凝土梁柱節點單元的內節點自由度“依附”到外節點上形成一種“超自由度”模式的單元，通過編制單元的UEL程序將其移植到ABAQUS通用分析平臺上，使得循環荷載作用下的鋼筋混凝土框架結構的非線性分析可以真正在通用數值分析平臺得以進行，為鋼筋混凝土框架結構在通用平臺上進行動力荷載作用下的非線性分析打下了堅實基礎.通過對鋼筋混凝土結構內、邊和角框架節點3個梁柱節點模型試驗的算例分析，也驗證了本文“超自由度”節點單元的有效性.

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Super DOF element of RC beam-column joint

FANG Zihu, LI Xiangpeng, JIAN Xuyang, HONG Bokai

(College of Civil Engineering，Shenzhen University，Shenzhen 518060, Guangdong，China)

To analyze the nonlinear hysteretic behaviors of RC frame structures under reversed cyclic loading, a new element of reinforced concrete beam-column joints, super DOF element, was presented. The element edges were divided into “joint plane” and “beam-column plane” at the joint-column interface and joint-beam interface. The inelastic mechanism of joint core was represented by the four-node plane stress element. The anchorage failures of beam and column longitudinal reinforcement embedded in the joint were determined by eight springs between “joint plane” and “beam-column plane”. The proposed element has four exterior nodes and four interior nodes. There are two degrees of freedom on each interior node. There are three degrees of freedom on each exterior node, coinciding with ones of typical beam element, so the element is suitable for use together with typical hysteretic beam-column line elements in two-dimensional nonlinear analysis of reinforced concrete structures. The element is implemented as a four-node twenty-degree-of-freedom element through moving the degrees of freedom on the interior nodes to ones on the exterior nodes. The simulated data were compared with tests, and the results indicate that the ultimate strengths and hysteretic pitching behaviors analyzed by the element are well agreement with the test ones and the computer time is short. It concludes that the proposed element is suitable for use in simulating response of building joints under cyclic loading.

beam-column joint element; reinforced concrete; frame structures; reversed cyclic loading; non-linear analysis; hysteretic behaviors

(編輯 趙麗瑩)

10.11918/j.issn.0367-6234.201510063

2015-10-20

國家自然科學基金面上項目(51378313，51578336)

方自虎(1962—)，男，副教授，碩士生導師

方自虎，zihu-f@21cn.com

TU375；O242

A

0367-6234(2017)06-0053-05