循環荷載三面本構模型及與實驗結果比較

張 靜，王 哲

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京100044)

循環荷載三面本構模型及與實驗結果比較

張 靜，王 哲

(北京交通大學 土木建筑工程學院，北京100044)

為探求形式簡潔，參數較少，便于工程應用的循環本構模型，本文基于邊界面模型和多面模型理論，建立了一個可描述金屬材料三軸循環加載力學行為的三面本構模型.把塑性應變分解成塑性應變1和塑性應變2，塑性應變1對應于一套屈服面-邊界面模型，塑性應變2對應于一套單屈服面模型.提出了當前應力點與邊界面上對偶點之間距離的演變公式，基于一致性條件得出邊界面模型中塑性模量的計算與運動硬化準則的聯系.采用塑性應變作為硬化參數，應用關聯流動法則計算塑性應變.相比于經典的邊界面模型，本文模型形式簡明；相比于前人修正隨動硬化準則模型，本文模型需要的材料參數較少.結合金屬穩定材料U71Mn的單軸循環實驗結果，對其4種力學行為進行模擬，分析了非對稱應力循環下平均應力和應力幅值對穩定材料棘輪效應的影響，以及對稱應變循環下材料的最大應變幅值記憶效應.研究結果表明，本文模型的模擬結果與前人文獻的實驗結果一致性較好，可為研究材料的本構行為提供一條新的途徑.

邊界面；三面；本構模型；單軸；循環加載；模擬

一些結構在使用過程中會受到循環荷載的作用，例如，鐵路橋梁在列車通過時，建筑物受到風荷載作用時，潛艇多次潛入水下和浮出水面時.對這些結構進行受力分析以及可靠性、安全性和疲勞壽命評估時，既需要通過實驗來研究循環加載條件下材料的力學行為，也需要建立本構模型來描述這些行為.

材料在循環荷載作用下將產生塑性變形隨循環周次逐漸累積的現象，即棘輪行為.對金屬材料單軸棘輪現象的模擬，有很多文獻進行過報道.Mroz多面模型中，每個屈服面對應有恒定的塑性模量，文獻[1-2]指出這種形式的Mroz多面模型不能預測比例加載下的棘輪效應.文獻[3-4]在兩面模型中提出了新的運動硬化準則，側重針對比例和非比例應變路徑下的循環加載進行模擬.文獻[5]首先對chaboche模型[6]、Ohno and Wang模型[7]和Mcdowell 模型[8]等幾種本構模型進行了評價，之后基于chaboche模型[6,9]，提出了新的運動硬化準則.該文中所有模型的主要區別在于運動硬化準則的不同，這類模型采用了若干分項疊加的運動硬化準則，參數繁多，部分模型的預測結果和實驗結果有較大差異.文獻[10-11]應用Tseng-Lee兩面模型模擬材料受到定平均值或定幅值循環荷載作用下的力學行為.計算結果表明，對定平均值的情況，當材料參數適用于較小應力幅值的循環加載時，若用來計算較大幅值循環加載時的材料響應，則產生的誤差較大；反之也如此.對定幅值的情況也存在上述類似問題，這說明模型還需要改進.文獻[11]研究了修正的邊界面模型，先建立邊界面上對偶點處的塑性模量，通過約束隨動中心的運動方向來保證屈服面與邊界面只能相切，此模型形式上不夠直觀、簡潔.

本文以邊界面模型為基礎，建立一種三面本構模型，即一套邊界面模型和一套單個屈服面模型的結合，對金屬材料在單軸循環加載條件下的力學行為進行模擬，并與前人的實驗結果進行比較.

1 本構模型的建立

本文研究對象為金屬穩定材料，其特征是材料在受到平均值和幅值都固定的循環應變作用時，隨著循環周數增加，名義應力幅值σa變化不大且很快趨于穩定.本文建模時，假設：材料的不可逆響應與時間無關；受力變形過程中材料的溫度不發生改變.

1.1 應力-應變增量關系

應變增量的疊加法則為

(1)

彈性部分應用胡克定律有

(2)

1.2 模型的本構方程

(3)

第一種塑性機制對應于一套邊界面模型，包含一個邊界面和一個屈服面，對應變量和函數使用的編號為1；第二種塑性機制對應于一套單個屈服面模型，包含有一個屈服面，沒有邊界面，對應的編號為2.

某些情況下一個邊界面模型模擬時有一定困難，再疊加一個屈服面模型可增加模型模擬的靈活度和選擇性.

邊界面模型中的塑性模量通常是直接給出的，其計算與運動硬化準則無關.本文考慮的邊界面模型, 其塑性模量由硬化準則、流動法則和一致性條件得出.

1.2.1 塑性變形1的相關方程

塑性變形1及其相關量的描述采用邊界面模型.模型包含一個由f1=0決定的屈服面和一個由F=0決定的邊界面，它們與偏平面的交線見圖1.設屈服函數f1和邊界面函數F的形式為：

(4)

(5)

圖1 偏平面下屈服面f1=0與邊界面F=0的示意

Fig.1 Schematic illustration of yield and bounding surface in deviatoric stress space

圖1中各點之間連線存在矢量關系：

)

(6a)

(6b)

本文研究的對象是循環穩定材料，相應的r1、R應該取為常數，所以：

dr1=0,

(7)

dR=0.

(8)

選取βij的演化方程為Prager形式：

(9)

(10)

式中dλ1為比例因子(非負標量).

(11)

(12)

(13)

對式(6b)等號兩邊取微分，再把式(7)、(8)帶入其中，整理得

(14)

(15)

對上式求微分，并考慮式(7)，有

(16)

把式(9)、(11)、(16)帶入式(14)，得

(17)

在整個塑性加載中，一致性條件成立，所以

df1=0.

(18a)

將式(4)進行微分，有

(18b)

將式(7)～(17)帶入式(18b)，可求得

(19)

1.2.2 塑性變形2的相關方程

塑性變形2及其相關量的描述采用只有屈服面(無邊界面)的模型形式.屈服面方程為f2=0，設屈服函數f2為

(20)

(21)

dr2=b(a-r2)dq.

(22)

其中dq為有效塑性應變增量，取

(23)

(24)

由一致性條件有df2=0，再將式(21)～(24)帶入df2=0，就可求得比例因子dλ2為

(25)

1.3 加卸載判斷準則

為了對第k(k=1、2)個塑性變形對應的加載、卸載進行判斷，引入加載函數Lk：

(26)

1) 當fk<0時，材料狀態在彈性區域內，相應不可逆變化量的增量為零；

2) 當fk=0時，材料狀態在屈服面上，進一步分為兩種情況：Lk>0時，應力變化為加載，相應內變量的變化分別使用式(7)～(19)和(21)～(25)來計算；Lk≤0時，應力變化為卸載或中性變載，相應的內變量不發生變化.

把與屈服函數f1相關的加載準則分解為3種情況：①f1<0； ②f1=0,L1>0；③f1=0,L1≤0.再把與屈服函數f2相關的加載準則分解為3種情況：(a)f2<0；(b)f2=0,L2>0；(c)f2=0,L2≤0.二者組合有3種情況：1) 當同時滿足②和(a)時，僅f1參與塑性計算；2) 當同時滿足①和(b)時，僅f2參與塑性計算；3) 當同時滿足②和(b)時，兩個屈服面都參與塑性計算.

1.4 邊界面模型的修正

文獻[11-13]報道了對穩定材料施加非對稱循環應力的實驗.給出了通過實驗得到的滯回環卸載點應變εmax與循環周次N之間的關系曲線，指出開始時應變隨循環次數的增加而增加，但增加的速率逐漸減慢，當棘輪應變達到一定值時，棘輪應變率將保持相對穩定.棘輪應變率的含義是dεmax/dN，即每增加一次荷載循環引起的滯回環中卸載點應變εmax的增加量.

本文模型引入參數p，當等效塑性應變值大于此參數時，邊界面的隨動中心保持不變.

2 模型與實驗結果比較

采用文獻[12]中材料U71Mn在單軸對稱應變循環下和單軸非對稱應力控制循環加載下的實驗數據，對本文構建的模型進行驗證.采用Compaq Visual Fortran6.6編寫計算程序.以應力驅動給出所建本構模型的計算流程見圖2.

2.1 加載參數符號的定義和材料參數的確定

表1 材料U71Mn的參數

圖2 本構模型計算流程圖

2.2 本構模型模擬結果

2.2.1 材料U71Mn的模擬結果與實驗結果比較

模擬以下幾種單軸循環加載時材料U71Mn的力學行為：1) 循環荷載上下限為358±447 MPa(120周)，見圖3；2)σxa恒定，分級變化σxm(各20周)，見圖4；3)σxm恒定，分級增加σxa(各20周)，見圖 5；4) 平均應變為0，分級變化應變循環幅值，這時作用量是應變，響應量是應力，模擬的應力響應幅值σxa與循環周次N的關系見圖6.

2.2.2 材料U71Mn的模擬結果分析

圖3～5給出了材料U71Mn的軸向應力-應變曲線的模擬結果與實驗結果的比較，以及εmax-N關系曲線的模擬結果.圖6給出了應力幅值-循環周次曲線的模擬結果與實驗結果的比較.

從圖3～5可看出，U71Mn材料具有以下兩個力學行為：1) 在循環初期，棘輪應變率隨循環周次的增加而逐漸下降(見圖3)，達到一定的循環周次后，趨近于一個非零常值;2) 在應力幅值為定值時， 棘輪應變率隨平均應力的增大而增大(見圖4)；在平均應力為定值時， 棘輪應變率隨應力幅值的增大而增大(見圖5).本文模型能夠模擬這兩個性質.

在圖4中，L表示循環應力的幅值(411 MPa)；H1、H2分別為兩段循環加載產生的塑性應變，這兩段加載中平均應力、循環幅值及循環周數都相同.在這兩段循環加載之間，材料經歷了一段應力幅值和循環周數都與之相同、但平均應力更高的循環加載.從圖4可看出，H2

從圖4、5可看出，本文模型在采用相同的參數時，即可對定平均值(幅值變動)或定幅值(平均值變動)循環荷載作用下的應力-應變曲線進行較好地模擬.克服了Tseng-Lee兩面模型中模擬結果過度依賴參數的局限性.

從圖6可看出，該材料沒有明顯的最大應變幅值記憶效應，即在經歷較大應變幅值循環之前和之后，兩段上下限相同的應變循環加載產生的循環應力幅值基本相同.本文模型能夠模擬材料的這種行為特征.

圖3 U71Mn的單軸棘輪行為(358±447 MPa)

圖4 平均應力逐級變化時U71Mn的單軸棘輪行為

圖5 應力幅值逐級增加時U71Mn的單軸棘輪行為

圖6 應力響應幅值σxa與循環周次N的關系曲線的模擬結果與實驗結果比較(U71Mn材料，單軸應變對稱循環加載)

Fig.6 Comparison of stress amplitude-number of cycles curves between prediction and experiment(U71Mn under uniaxial symmetric strain cycling)

3 結 論

1) 在假設材料的不可逆行為是與時間、溫度無關的條件下，基于邊界面模型和多面模型理論，建立一個適用于描述金屬穩定材料在循環加載情形下行為的三面本構模型.

3) 對室溫下穩定材料U71Mn的單軸棘輪實驗現象進行模擬，模擬曲線與實驗曲線吻合較好，驗證了模型的正確性和有效性.相比重在考慮由若干分項疊加的運動硬化準則的模型[12,14-15]，本文模型方程形式簡單，參數較少，便于應用.

[1] JIANG Y, SEHITOGLU H.Comments on the Mroz multiple surface type plasticity models[J].Int.J.Solids structures, 1996, 33(7):1053-1068.DOI:10.1016/ 0020-7683(95)00088-7.

[2] HASHIGUCHI K.Mechanical requirements and structures of cyclic plasticity models[J].International Journal of Plasticity, 1993, 9(6):721-748. DOI: 10.1016/0749-6419(93)90035-0.

[3] VOYIADJIS G Z,BASUROYCHOWDHURY I N.A plasticity model for multiaxial cyclic loading and ratcheting[J]. Acta Mechanica, 1998, 126(1/2/3/4):19-35. DOI:10.1007/BF01172796.

[4] ITOH T, CHEN X, NAKAGAWA T, et al. A simple model for stable cyclic stress-strain relationship of type 304 stainless steel under nonproportional loading[J].Journal of Engineering Materials and Technology, 2000, 122(1):1-9. DOI: 10.1115/1.482758.

[5] BARI S, HASSAN T.An advancement in cyclic plasticity modeling for multiaxial ratcheting simulation[J].International Journal of Plasticity, 2002, 18(7):873-894.DOI:10.1016/S0749-6419(01)00012-2.

[6] CHABOCHE J L.Modeling of ratchetting: evaluation of various approaches[J].European journal of mechanics, 1994, 13(4):501-518.

[7] OHNO N,WANG J D.Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery,part Ⅱ: application to experiments of ratcheting behavior[J]. International Journal of Plasticity, 1993, 9(3):391-403.

[8] MCDOWELL D L.Stress state dependence of cyclic ratcheting behavior of two rail steels[J]. International Journal of Plasticity, 1995, 11(4): 397-421. DOI:10.1016/S0749-6419(95)00005-4.

[9] CHABOCHE J L.On some modifications of kinematic hardening to improve the description of ratcheting effects[J].International Journal of Plasticity, 1991,7(7):661-678.DOI:10.1016/0749-6419(91)90050-9.

[10]TSENG N T, LEE G C.Simple plasticity model of two-surface type[J].Journal of Engineering Mechanics, 1983,109(3):795-810.DOI:10.1061/(ASCE)0733-9399(1983)109:3(795).

[11]HASSAN T. Ratcheting in cyclic plasticity of metals experiments and modeling [D]. Austin: The University of Texas at Austin, 1993.

[12]康國政，高慶.循環穩定材料的棘輪行為：I.實驗和本構模型[J].工程力學, 2005, 22(2):206-211. KANG Guozheng,GAO Qing.Ratcheting of cyclically stable material: I. experiments and a visco-plastic constitutive model[J].Engineering Mechanics, 2005, 22(2):206-211.

[13]郭嚴，康國政，劉宇杰，等. LZ50鋼真應力控制下單軸棘輪行為的實驗研究[J].工程力學, 2010, 27(9):216-220. GUO Yan, KANG Guozheng, LIU Yujie,et.al. Experimental study on uniaxial ratcheting of LZ50 steel under true stress-controlled cyclic loading[J]. Engineering Mechanics, 2010, 27(9):216-220.

[14]ABDEL-KARIM M.Modified kinematic hardening rules for simulations of ratcheting[J]. International Journal of Plasticity, 2009,25(8):1560-1587.DOI:10.1016/j.ijplas.2008.10.004.

[15]HAMIDINEJAD S M, VARVANI-FARAHANI A. Ratcheting assessment of steel samples under various non-proportional loading paths by means of kinematic hardening rules[J].Materials and Design, 2015, 85:367-376.DOI:10.1016/j.matdes.2015. 06.153.

(編輯 趙麗瑩)

A three-surface cyclic constitutive model and comparison between experimental and numerical results

ZHANG Jing, WANG Zhe

(Department of Civil Engineering,Beijing Jiaotong University, Beijing 100044,China)

Based on the theories of bounding surface and multiple surface, a three-surface cyclic constitutive model, which is applicable for engineering because of the simple form and less parameters, was established to describe metal material behavior under the triaxial cyclic loadings. The plastic strain was decomposed into plastic strain 1 corresponding to a bounding surface model and plastic strain 2 corresponding to a single yield surface model. An evolution formula of the distance between the current stress and the image stress on the bounding surface was developed, which makes the plastic modulus calculation be coupled with the kinematic hardening rule through the consistency condition of the yield surface. As the hardening parameter, the plastic strain was calculated according to the associated flow rule. Compared with the classic bounding surface models, it has a concise form, and compared with the modified kinematic hardening rule models, it has less parameters. The existing experimental results about stable metal material U71Mn under uniaxial cyclic loading were adopted, and four mechanical behaviors were considered. The ratcheting were simulated by the model considering the effect of mean stress and stress amplitude under asymmetrical stress cycling, and the maximum strain amplitude memory effect was analyzed under symmetrical strain cycling. The calculated results agree well with the experimental results, which means the proposed model provides a new method to study the constitutive relation.

bounding surface; three-surface; constitutive model; uniaxial; cyclic loading; simulation

10.11918/j.issn.0367-6234.201607017

2016-07-06

國家自然科學基金(51279003，51078024)

張 靜(1986―)，女，博士研究生; 王 哲(1961―)，男，研究員，博士生導師

王 哲，zhwang@bjtu.edu.cn

O344.1；TU511

A

0367-6234(2017)06-0183-06