冷彎薄壁受壓C形截面局部屈曲荷載和承載力

路 延，周天華，李文超，吳函恒

(長安大學 建筑工程學院，西安710061)

冷彎薄壁受壓C形截面局部屈曲荷載和承載力

路 延，周天華，李文超，吳函恒

(長安大學 建筑工程學院，西安710061)

為研究板組效應對冷彎薄壁受壓C形截面局部屈曲荷載和承載力的影響，對組成其截面各板件局部屈曲時的變形協調情況進行理論分析，提出考慮該效應的腹板局部屈曲計算模型，基于能量法和靜力平衡條件推導了冷彎薄壁受壓C形截面局部屈曲荷載的解析解，并分別與有限條法和中國規范GB 50018—2002規定的方法進行對比.將所推導的解析解引入直接強度法，對21根冷彎薄壁C形受壓短柱試驗的承載力進行計算，并分別與承載力試驗結果和按GB 50018—2002規定方法計算的承載力進行對比分析.結果表明：在屈曲荷載方面，本文推導的解析解合理可靠，而按中國規范規定的方法則存在系統誤差，當截面高寬比小于4.5時，其結果偏于保守，當截面高寬比大于4.5時，其結果偏于不安全;在承載力方面，按本文方法計算的承載力與試驗結果較為接近，合理可靠，而按中國規范規定方法計算的承載力較保守，并且隨著截面寬高比的增大，保守趨勢不斷增大.

冷彎薄壁型鋼；C形截面；板組效應；局部屈曲荷載；極限承載力

組成冷彎薄壁型鋼的板件寬而薄易發生局部屈曲.另一方面，由于板件的薄膜效應，只要構件整體不發生破壞，板件的局部屈曲并不會使構件的承載力立即喪失，且它還具有較高的屈曲后強度[1].因此，冷彎型鋼結構設計不僅允許板件出現局部屈曲，而且還利用板件的屈曲后強度.

目前，各國在冷彎薄壁型鋼結構的承載力設計中大多采用有效寬度法，如澳大利亞規范[2]、美國規范[3]等.該方法建立在單板的研究成果上，沒有考慮整個截面中板件的相關性，即板組效應.相關研究表明[4-5]，板組效應對冷彎薄壁型鋼構件的承載力具有重要影響，但是如何考慮這種效應，國內外至今還未有統一認識.

為了計及板組效應對構件承載力的影響，部分學者從純理論分析的角度入手，Rhodes等[6]通過理論分析建立了板組的屈曲后理論，并對槽型截面的屈曲后強度進行了研究.周緒紅等[7-8]提出了求解板組屈曲后理論的半能量法，并對卷邊槽型截面的屈曲后性能進行了研究.然而，由于純理論的分析較為復雜，一般很難應用于指導設計實踐，另一部分學者則從設計的角度出發，Schafer[9]在大量試驗研究和理論分析的基礎上，將柱子曲線的概念拓展應用于計算冷彎薄壁型鋼構件的局部屈曲和畸變屈曲承載力，提出了冷彎薄壁型鋼結構設計的直接強度法(DSM).DSM通過板組的彈性相關屈曲來考慮板組效應對構件承載力的影響，這種線彈性分析方法避免了傳統板組屈曲后理論的非線性運算，為相關設計人員提供了便利.隨著DSM的發展和應用，各國學者對冷彎薄壁C形受壓構件的板組彈性相關屈曲進行了大量研究[10-12]，但大多針對板組畸變屈曲[10.12]，對于板組局部屈曲的研究很少，已有臨界荷載計算公式也多是半經驗公式[11]，其精度取決于回歸分析時所選的參數范圍，不便于應用，在一定程度上阻礙了DSM的發展與應用.

本文對薄壁受壓C形截面的板組局部屈曲進行理論研究，推導了考慮板組效應的薄壁受壓C形截面局部屈曲荷載解析解，通過有限條法對其進行驗證.通過將本文解析解引入直接強度法，提出考慮板組效應的冷彎薄壁C形受壓構件的局部屈曲承載力設計方法.

1 板件的局部屈曲相關性

由于板組效應，截面中不同板件會同時發生屈曲，但這些板件發生屈曲的趨勢卻不同，通常最先具有這種趨勢的板件決定著相鄰板件間的約束關系，因而有必要了解截面中各板件屈曲的趨勢.

1.1 板件的強弱

當C形受壓構件發生局部屈曲時，取出一個半波長的柱段，如圖1(a)所示，相應的橫截面變形，如圖1(b)所示.腹板、翼緣、卷邊寬度分別為a、b和d，λ是構件縱向的一個半波長度.此時，截面具有如下特征[1,4]：楞線保持挺直；相鄰板件的交角不變.

如果腹板、翼緣和卷邊互不約束，則臨界荷載為[1]

(1)

式中：腹板、翼緣和卷邊的穩定系數k分別為4、4和0.43，t為板厚，a為板寬，E為彈性模量，ν為泊松比.

根據式(1)，如果各板件滿足下列尺寸關系，則會同時發生屈曲.

a=b=3.05d.

(2)

由式(2)可知：1)當a>b且a>3.05d時，腹板的臨界應力最小，它最先趨于屈曲；2)當b>a且b>3.05d時，翼緣的臨界應力最小，它最先趨于屈曲；3)當a<3.05d且b<3.05d時，卷邊的臨界應力最小，它最先趨于屈曲.

圖1 冷彎薄壁C形截面局部屈曲變形

Fig.1 Local buckling deformation of cold-formed thin-walled C-sections

1.2 板件的相關作用

為研究板件的相關作用，以腹板最先趨于屈曲為例，將圖1中腹板、翼緣和卷邊拆分為以相關作用聯系的3個分離體，如圖2所示(Mwf、Mfw、Mpf和Mfp分別為腹板對翼緣、翼緣對腹板、卷邊對翼緣和翼緣對卷邊的約束彎矩).

注：Mfp當卷邊受到翼緣約束時方向相反

圖2 板件分離體

Fig.2 Isolated plates

由圖2知，如果腹板發生屈曲，必然會受到翼緣約束彎矩Mwf的牽制使其屈曲推遲，而翼緣則會受到腹板約束反力Mfw的作用使其提前屈曲.同理，翼緣與卷邊間彎矩Mfp和Mpf會使弱者受到約束，強者受到牽制.最終，隨著荷載不斷增大，直至喪失穩定承載力，各板件會在相關作用的影響下同時發生屈曲.

綜上所述，冷彎薄壁C 形截面局部屈曲時，各板件間存在相關作用，這種作用以約束彎矩的形式使不同板件同時屈曲.因此，精確計算冷彎薄壁C形截面局部屈曲臨界荷載時，必須考慮板件間的相關作用.

2 簡化計算模型

中國冷彎薄壁C形截面規格[13]的腹板高度a均大于翼緣寬度b且不小于3.05倍的卷邊寬度d，即腹板為薄弱板件.當卷邊對翼緣充分加勁時，截面的局部失穩形式為局部屈曲，此時各板件間的相關作用見圖2.取腹板分離體為分析簡圖，并以剛度為kφ的轉動約束彈簧表述翼緣和卷邊對腹板的共同約束作用，見圖3.簡圖的坐標軸原點位于形心處，z軸垂直紙面向外. 分析模型的總勢能V由彎曲應變能V1、轉動彈簧的彈性勢能V2以及外力勢能V3組成[14]，分別為：

(3)

(4)

(5)

取撓曲函數為[15]

式中ε=akφ/D，D為板的彎曲剛度.

圖3 簡化計算模型

將式(6)帶入式(3)～(5)中，根據能量守恒，即V1+V2=V3，可解得局部屈曲荷載σ為

(7)

其中穩定系數k為

(8)

式中η1=(1+ε/2)，ε=akφ/D.

令?k/?λ=0，可解得臨界半波長度為

(9)

3 轉動約束剛度

轉動約束剛度kφ是求解式(8)、(9)的關鍵參數，本節將通過受壓板件間的變形協調條件對該參數進行求解.取翼緣分離體和卷邊分離體為分析對象，如圖2(b)和圖2(c)所示，并假定：1)相鄰板件的交線保持挺直；2)相鄰板件的交角不變，即：φw=φf1，φf2=φp.式中：φw、φf1分別為腹板、翼緣在腹板-翼緣交線處的轉角，如圖1(b)所示，φf2、φp分別為翼緣、卷邊在翼緣-卷邊交線處的轉角.

3.1 翼緣和卷邊的撓曲函數

由圖2知，翼緣和卷邊的撓曲變形受到側向分布彎矩和軸向受壓的共同影響，為便于分析，本文參考Bleich的理論[16]對這種耦合作用進行解耦，即取kφ=rkφ1，其中kφ1是僅考慮側向分布彎矩影響下的翼緣和卷邊對腹板的轉動約束剛度kφ1，而r是考慮軸向壓力對kφ1不利影響的折減系數.

由文獻[17]可知，翼緣和卷邊的撓曲變形滿足：

(10)

式中C1、C2、C3、C4為常數.

翼緣的邊界條件為：

1)y=0，y=b撓度為零

(11a)

2)y=0，y=b彎矩平衡

(11b)

卷邊的邊界條件為：

1)y=0撓度為零

(12a)

2)y=0，y=d彎矩平衡

(12b)

(12c)

3)y=d剪力為零[14]

(12d)

φw=φf1=

式中β1、β2為γ1～γ4的函數.

由力的平衡條件可知Mwf=Mfw、kφ1=Mfw/φw，并可解得kφ1的精確解析解為

(13)

式(13)的解過于復雜， 圖4給出了式中無量綱參數kφλ/2πD、b/λ和d/λ的函數關系圖像.

由圖4可知，參數d/λ的變化相對于b/λ，對kφλ/2πD的影響較小，即在長為λ的柱段中，卷邊寬度d的變化相對于翼緣寬度b，對約束剛度kφ的影響較小.因此，為了增加本文解析解的適用性，可略微保守的忽略卷邊與翼緣間的轉動約束，即取

(14)

圖4 無量綱參數kφλ/2πD、b/λ和d/λ的比較

Fig.4 Comparison of non-dimensional parameterskφλ/2πD、b/λandd/λ

3.2 軸向壓力對kφ1的折減

折減系數r的大小，取決于腹板分離體和翼緣分離體(見圖2)發生屈曲的趨勢，當此二者發生屈曲的趨勢較為接近時，即σcr,w≈σcr,f(見式(1))，此時軸向壓力對約束剛度kφ1的削弱較強，折減系數r趨于0，當此二者發生屈曲的趨勢差異較大時，即σcr,w遠大于σcr,f，此時軸向壓力對約束剛度kφ1的削弱較弱，折減系數r趨于1.因此，可取折減系數r為[16]

r=1-b2/a2，

綜上所述，本文采用平衡法推導了側向彎矩作用下的kφ精確解析解，即式(13).考慮卷邊寬度變化對轉動約束剛度kφ影響較小，給出了kφ的簡化解析解，即式(14).考慮軸壓應力的不利影響，得到了計算臨界荷載所需的kφ解析解:

).

(15)

式(15)為隱含λ的超越方程，聯立式(15)和式(9)求解λ時，只能采用數值方法.為簡化計算，在計算kφ時可略微偏安全的取λ=a，將其代入式(7)～(9)，即可求解試件的屈曲臨界應力.

4 算例分析

4.1 彈性局部屈曲的分析

設計了24組不同截面尺寸的冷彎薄壁C形截面，見表1.分別按本文解析解、中國規范(取腹板k=4)[13]和有限條軟件CUFSM[18]對表1試件的局部屈曲臨界荷載進行計算，結果見圖5和表2.

表1 冷彎C形鋼的截面尺寸

注：a、b、d分別為腹板、翼緣、卷邊的寬度；t為板厚.

注：σcr,1、σcr,2、σcr,3分別為按本文公式、中國規范和CUFSM計算出的局部屈曲荷載值

圖5 局部屈曲荷載計算值與CUFSM分析結果比較

Fig.5 Local buckling comparison of theoretic values and CUFSM results

表2 局部屈曲承載力比較

由圖5可知，本文解析解與CUFSM分析結果較為接近，而中國規范與CUFSM分析結果存在系統誤差，當截面高寬比小于4.5時，中國規范偏于保守，截面高寬比大于4.5時，偏于不安全.

4.2 軸壓構件的局部屈曲承載力分析

4.2.1 本文推薦方法

前述提出的解析解(式(7)～(9))給出了薄壁受壓C形截面的局部屈曲荷載，但精確計算構件的承載力時還需計及屈曲后強度和材料參數的影響.本文將所提出的解析解引入直接強度法[3]的局部屈曲強度曲線中，得到了可以考慮板組效應影響的局部屈曲承載力計算公式：

當λL≤0.776時,PnL=Pne;

4.2.2 算例

為驗證本文方法的正確性，收集了23根冷彎薄壁C形受壓短柱試件[19]，短柱試驗的目的是考察構件的局部屈曲承載力，其試件的截面尺寸和材料參數詳見文獻[19]，表2分別給出了按中國規范計算方法(考慮板組效應)和本文建議方法計算的構件承載力的對比結果，其中PE、Pu,C和Pu,D分別為試件的承載力試驗值、中國規范計算的承載力和本文方法計算的承載力.

為了方便比較，圖6給出了算例中Pu,C/PE和Pu,D/PE隨截面寬高比b/c變化的曲線.Pu,D/PE隨b/c變化的趨勢比Pu,C/PE更加平緩，說明本文方法更好反映出試件承載力與截面寬高比之間的關系.表2和圖6的對比分析表明，本文建議的局部屈曲承載力計算方法合理有效，具有較好的適用性.

圖6 局部屈曲承載力計算值與試驗結果比較

Fig.6 Local buckling strength comparison of theoretic values and experiment results

5 結 論

1)基于能量法和變形協調條件推導出的冷彎薄壁C形截面的腹板局部屈曲臨界荷載解析解合理可靠.

2)按中國規范規定的穩定系數(取腹板k=4)計算的冷彎薄壁C形截面的腹板彈性局部屈曲臨界荷載存在系統誤差，當截面高寬比小于4.5時，中國規范偏于保守，截面高寬比大于4.5時，偏于不安全.

3)按中國規范計算的冷彎薄壁受壓短柱的局部屈曲承載力較為保守，并且隨著截面寬高比的增大，這種趨勢不斷增大.

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The critical local buckling load and ultimate strength of cold-formed thin-walled C-sections under axial compression

LU Yan, ZHOU Tianhua,LI Wenchao, WU Hanheng

(Department of Civil Engineering, Chang’an University, Xi’an 710061, China)

To study the plate-assembly effects on the local buckling loads and ultimate strength of cold-formed thin-walled C-sections, the cross-sectional deformation of each plate of the C-section with respect to local buckling was analyzed and an analytical web local buckling model was proposed considering the plate-assembly effects. Based on the energy method and equilibrium conditions, an analytical formula for thin-walled compressed C-sections was derived. The derived formula was verified by the finite strip method and the Chinese code GB 50018—2002, respectively. The ultimate strengths of 21 cold-formed C-section columns under compression were calculated by adopting the analytical formulae in the direct strength method and compared with the test results and the results calculated by the Chinese code GB 50018—2002, respectively. The results show that the derived formula is reasonable and reliable for the local buckling loads, whereas the Chinese code brings out systematic errors, namely conservative results for the depth of web to width of flange ratio less than 4.5 and unsafe results for the depth of web to width of flange ratio more than 4.5. As for the ultimate strength, the results from the proposed method agrees well with the test results, which indicate that the proposed method is reasonable and reliable. In contrast, the Chinese code are conservative with respect to the tests results and the difference between the Chinese code and the test result increases as the depth of web to width of flange ratio increasing.

cold-formed steel; C-sections; plate-assembly effects; local buckling load; ultimate strength

(編輯 趙麗瑩)

10.11918/j.issn.0367-6234.201607058

2016-07-15

國家自然科學基金(51508029)； 高等學校博士學科點專項基金(20110205110006)

路 延(1990—)，男，博士研究生； 周天華(1963—)，男，教授，博士生導師

周天華，zhouth@chd.edu.cn

TU392.1

A

0367-6234(2017)06-0072-05