《選修4—4極坐標與參數方程》教學中的幾個問題

曹志棟

筆者在選修4-4的教學過程中遇到一些難點與疑點問題，經過深入思考研究并在教學實踐中加以解決。

1 圓的參數方程中的范圍為什么沒有進行限制

從圓的參數方程推導過程中可以看出，表示的幾何意義應該為點M從初始點M0按逆時針方向旋轉轉過的角度，故應該在之間[0，+∞），但課本上卻只寫了個為參數，這意味著，但在課本24頁上卻又出現了另外一句話：建立曲線的參數方程時，要注明參數及參數的取值范圍。那么的范圍到底應該是什么呢？

根據曲線參數方程的定義，圓的參數方程與圓應該具有兩方面的對應，一方面由數到形，對于參數的每個取值所確定的點都要在圓上，這顯然是可以做到的，另一方面有形到數，對于圓上每個點的坐標都能夠找到與之對應。也是顯然滿足上述定義的，故其為圓的參數方程是沒有問題的。

那么的范圍可不可以有其他限制呢？答案是肯定的，如果不考慮參數的幾何意義，可以是（-∞，+∞），也可以是，還可以是等等，只要滿足參數所在區間包含一個周期即可，這樣就能保證圓上任一點有確定的與之對應，而的每一個取值所對應的點都在圓上是顯而易見的，故以上所列舉的范圍都能滿足曲線參數方程的定義。

而R顯然可以使參數方程具有更廣泛的應用性，所以選擇R，但是在具體使用的過程中，我們應盡可能的簡單，比如圓上位于第一象限的點我們就有多種限制方式，但我們選擇比較簡約的，這樣以后設計到角的范圍及角的三角函數就比較簡單一點。這里的普適性與特殊性都是為了更方便的應用參數方程解決問題。

2 參數方程化為普通方程后是只寫x的范圍還是應該把兩個變量：x和y的范圍都寫出來

如：，其化為普通方程后得到，若只限制x范圍，則，故由普通方程所得曲線應該是一個半圓，而實際上由參數方程可看出其表示的曲線應該是1/4圓，是單位圓的一角。故由參數方程化為普通方程應該是兩個變量的范圍都得寫，但當兩范圍在普通方程下滿足一致性時，即：將x的范圍帶入普通方程所求出的y的范圍與通過參數方程求出的y的范圍一致，這是我們就可以只寫x的范圍，這樣可以體現簡約性。

那么是不是任意參數方程化為普通方程后都能滿足上述意義下的范圍一致性？答案是否定的，如上例中，由參數方程可得y，但由轉化后的普通方程與x的范圍能得到的y的范圍應該是。

那何時能夠保持一致性呢？在由參數方程求Y的范圍時，y的范圍由參數決定，而有普通方程求y的范圍時，y的范圍由x決定，要使其保持一致，只需要變量x的范圍與參數的范圍必須等價，而在上例中x[0，1]與是不等價的。

3 直線參數方程中參數t的幾何意義

筆者在教學過程中，發現學生對于參數t的幾何意義難以理解，大多只是記憶在腦海里。由于這里的t涉及到構造，學生難以理解也屬正常。筆者在具體教學中從勻速直線運動的角度闡釋t 的幾何意義，這樣使得t具有了物理意義，學生比較容易理解。

筆者在具體教學中將直線放入平面直角坐標系，使其上一定點為，傾斜角，假設一動點從定點出發沿直線以速度1（自設數值，速度方向沿直線向上為正，向下為負）做勻速直線運動，得出直線的參數方程為，然后從嚴謹性上入手讓學生認識到所求參數方程表示的只是半條直線，讓其將參數方程進行補充修改，并統一成一種形式，然后讓學生從參數t的符號和數值兩個方面來討論參數的幾何意義，可得|t|表示參數為t的點M到的距離，t的符號決定速度的正負，也就決定了點M與點的位置關系。

4 若已知直線的參數方程，則直線上任意兩點間的距離公式是什么

這里的難點在于學生對于直線參數方程的標準型與非標準型的認識不夠，誤認為直線上任意兩點的距離都為|t1-t2|.在教學中應該使學生學會辨別標準型與非標準型，掌握標準型與非標準型的關系，并且使學生掌握非標準形式下直線上任意兩點間的距離，推導如下。

設直線的參數方程為，直線上兩點A、B所對應參數分別為：，則A（x0+at1，y0+bt1），B（x0+at2，y0+bt2），由兩點間距離公式可得|AB|=.進而A點到的距離就為，且由于直線參數方程為標準型時，，其中為直線的傾斜角，此時，，故直線上任意兩點AB的距離為，其中分別為直線上兩點A、B所對應參數。這樣從一般性入手再到特殊性，可以解決學生誤看特殊為一般的問題。

（作者單位：蘭州市五十八中）