一類二階微分方程新的Kamenev型振動準則

楊甲山, 覃桂茳

(1.梧州學院 信息與電子工程學院，廣西 梧州 543002; 2.梧州學院 復雜系統(tǒng)仿真與智能計算實驗室，廣西 梧州 543002)

一類二階微分方程新的Kamenev型振動準則

楊甲山1,2, 覃桂茳1，2

(1.梧州學院 信息與電子工程學院，廣西 梧州 543002; 2.梧州學院 復雜系統(tǒng)仿真與智能計算實驗室，廣西 梧州 543002)

研究了一類具有非線性中立項的二階變時滯微分方程的振動性.采用廣義的Riccati變換及多種不等式技巧，獲得了該類方程的2個新的Kamenev型振動準則，這些準則能用于其他已知結(jié)果不適用的情形，推廣并改進了相關(guān)文獻的結(jié)果.

振動性；變時滯；非線性中立項

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):274-280

0 引 言

在微分方程定性理論的研究中，振動性理論作為重要的研究方向之一，具有極為廣泛的應用背景，近年來引起了國內(nèi)外眾多學者的極大興趣和高度關(guān)注，該研究領(lǐng)域取得了大量成果[1-22].筆者考慮如下一類形式非常廣泛的具有非線性中立項的二階Emden-Fowler型微分方程:

{a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0,t≥t0

(1)

的振動性.為了敘述方便，假設(shè)：

關(guān)于方程(1)的解及其振動性的定義可參見文獻[1]或[9].對具有非線性中立項的微分方程振動性的研究是一項很困難的工作，因此學者們或是回避這類方程，或是通過附加一些條件將其轉(zhuǎn)化為線性中立項進行討論[1-4,6-17].僅有文獻[5]直接研究具有一個擬線性中立項的一階微分方程：

[x(t)-pxα(t-τ)]′+

得到了其解振動的一些判別準則.

最近，文獻[15]研究了方程(1)的特殊情形(即當α=1時，相當于中立項是線性的情形)的振動性，得到了如下結(jié)果：

則方程

{a(t)|z′(t)|β-1z′(t)}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0(t≥t0)

(2)

是振動的，其中函數(shù)Q(t)=q(t)[1-p(δ(t))]γ，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t))，k>0為常數(shù).

定理A是文獻[15]中的定理2.2，也是其主要結(jié)果.值得注意的是，當β<γ時，文獻[15]沒有得到方程(2)的振動準則，且其條件“a′(t)≥0”似乎較為苛刻.受以上研究的啟發(fā)，筆者利用Riccati變換技術(shù)和多種不等式(如Bernoulli不等式、Yang不等式和H?lder不等式等)技巧來研究具有非線性中立項的微分方程(1)的振動性，得到了該方程振動的Kamenev型振動準則，而作為方程(1)的特殊情形，即當α=β=γ=1或者α=1且β=γ時的情形，本文的這些振動準則改進了現(xiàn)有文獻中的一系列結(jié)果.

1 方程振動的判別定理

首先給出4個引理，其中引理1由函數(shù)f(x)=xλ(0<λ≤1)的凹凸性便可證得，引理2～4為公知的不等式，略去其證明.

引理1 設(shè)X，Y為非負實數(shù)，則當0<λ≤1時，Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ.

引理2(Bernoulli不等式) 對任意實數(shù)x>-1，當0≤r≤1時，(1+x)r≤1+rx，當r≤0或r≥1時，(1+x)r≥1+rx.

方便起見，引入下列記號：

z(t)=x(t)+p(t)xα(τ(t))，

定理1 設(shè)(H1)和(H2)成立，若存在函數(shù)φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及常數(shù)ω≥0，使得

(3)

其中函數(shù)

(4)

而t2≥t0，k>0和m>0均為常數(shù)，則方程(1)是振動的.

證明 反證法：設(shè)方程(1)存在一個非振動解x(t)，不失一般性，設(shè)x(t)最終為正(當x(t)最終為負時類似可證)，則?t1≥t0，使得當t≥t1時，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0.由方程(1)，并注意到函數(shù)z(t)的定義，可得z(t)≥x(t)>0(t≥t1)，且[a(t)|z′(t)|β-1z′(t)]′=-q(t)xγ(δ(t))<0，

(5)

利用條件(H1)，由式(5)易得z′(t)>0(t≥t1).分別利用引理1及引理2，可得

x(t)=z(t)-p(t)xα(τ(t))=z(t)-p(t)[1+xα(τ(t))]+p(t)≥z(t)-21-αp(t)[1+x(τ(t))]α+p(t)≥z(t)-21-αp(t)[1+αx(τ(t))]+p(t)=z(t)-α21-αp(t)x(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥z(t)-α21-αp(t)z(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥ [1-α21-αp(t)]z(t)-(21-α-1)p(t).

(6)

定義函數(shù)w(t)如下：

(7)

則有w(t)>0(t≥t1).利用式(5)，(6)及a(t)(z′(t))β≤a(δ(t))(z′(δ(t)))β，由式(7)可推得

(8)

注意到z(t)>0,z′(t)>0(t≥t1)，因此

z(δ(t))≥z(δ(t1))=k(t≥t1).

(9)

其中常數(shù)k>0.于是，利用式(7)、(9)和函數(shù)Q(t)的定義，由式(8)，可得

(10)

(i) 若β=γ，則z(γ-β)/β(δ(t))=1.

(ii) 若β<γ，則由式(9)知，z(γ-β)/β(δ(t))≥k(γ-β)/β.

因此存在常數(shù)m>0，使得當t2≥t1充分大時，有

于是

z(γ-β)/β(δ(t))≥[mΘ(δ(t))](γ-β)/β.

(11)

現(xiàn)將式(11)中的t改成s，兩邊同乘以(t-s)ω，再從t2到t(t≥t2)積分，得

(12)

代入式(12)，得

(13)

與式(4)矛盾.定理證畢.

推論1 設(shè)(H1)和(H2)成立，若存在函數(shù)φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

其中常數(shù)t2，k，m及函數(shù)Q(t)和θ(t)的定義都同定理1，則方程(1)是振動的.

證明 在定理1中，取ω=0，即可得推論1成立.

+∞，

則方程

[a(t)|x′(t)|β-1x′(t)]′+

q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0(t≥t0)

(14)

是振動的.

證明 在方程(1)中，令p(t)≡0且β=γ，并在推論1中取φ(t)=Θβ(δ(t))，即可得推論2.

注1 當α=1(即中立項是線性的情形)且β≥γ時，由推論1可得定理A(即文獻[15]中的定理2.2)，但這里去掉了文獻[15]中的限制條件“a′(t)≥0”，且當β≤γ時也滿足方程(1)的振動準則；而推論2就是SUN等[16]得到的關(guān)于方程(14)振動的主要判別定理.

若定理1中的條件(3)不成立，則方程(1)的振動準則如下：

定理2 設(shè)(H1)和(H2)成立，若存在函數(shù)φ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及ξ1(t),ξ2(t)∈L2([t0,+∞),R)，使得對?u≥t2，有

(15)

(16)

+∞，

(17)

便可得

利用式(15)和(16)，即可得

ξ1(u)-ζξ2(u)≤w(u)，u≥t2≥t0.

(18)

注意到式(15)，有

w(t2)-ξ1(t2)≤M0,

(19)

其中M0是常數(shù).這樣，根據(jù)式(19)就可斷言：

(20)

(21)

(22)

則對充分大的正整數(shù)n，有

(23)

另一方面，應用引理4中的H?lder不等式，得

(24)

但由式(16)知，上式右邊是有界的，這與式(22)矛盾! 式(20)得證.

這與式(17)矛盾! 定理證畢.

推論3 設(shè)(H1)和(H2)成立，若存在函數(shù)φ(t)∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及ξ1(t),ξ2(t)∈L2([t0,+∞),R)，使得對?u≥t2，有

(25)

(26)

且ξ1和ξ2滿足

(27)

其中常數(shù)t2，ζ及函數(shù)[ξ1(s)-ζξ2(s)]+，Q(t)和θ(t)的定義均同定理2，則方程(1)是振動的.

例1 考慮二階時滯微分方程：

(28)

其中常數(shù)q0>0.這相當于方程(1)中a(t)≡1，p(t)=1/5，q(t)=q0/t2，τ(t)=t/5，δ(t)=t，α=1，β=1，γ=1.容易驗證條件(H1)與(H2)均滿足.現(xiàn)取φ(t)=t，則當q0>5/16=0.312 5時,

因此，由推論1知，當q0>0.312 5時方程(28)是振動的.

注2 現(xiàn)用文獻[7]中的定理3.4來判定方程(28)的振動性：因為當q0>2.5時，

所以當q0>2.5時方程(28)是振動的.這說明本文定理的特殊情形即當α=1(相當于方程(1)的中立項是線性的)時的振動準則要比文獻[7]的有關(guān)結(jié)論“精細”得多.

例2 考慮具非線性中立項的二階微分方程

t≥1，

(29)

其中常數(shù)q0>0.這相當于方程(1)中α=1/3,β=5/3,γ=7/5,a(t)=t,p(t)=1/5,q(t)=q0/t,τ(t)=t/2,δ(t)=t/3.顯然條件(H1)和(H2)均滿足.現(xiàn)取φ(t)=1，由于β>γ，且

+∞，

所以由推論1知，方程(29)是振動的.

注3 由于方程(29)是具有非線性中立項的微分方程，并且β≠γ，所以文獻[1-4,6-17,19-22]中的定理均不能用于方程(29).

從以上例子可看出，即使中立項是線性的，即當α=1且β=γ時，本文的振動準則也是較“精準”的，幾乎是方程(1)振動的“sharp”條件，所以本文定理推廣、改進并豐富了現(xiàn)有文獻的結(jié)果.

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2016(4):30-37.

Kamenev-type oscillation criteria for certain second-order differential equations.

YANG Jiashan1,2, QIN Guijiang1,2

(1.SchoolofInformationandElectronicEngineering,WuzhouUniversity,Wuzhou543002,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China; 2.LaboratoryofComplexSystemsSimulationandIntelligentComputing,WuzhouUniversity,Wuzhou543002,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China)

We study the oscillatory behavior of a class of second-order variable delay differential equations with a nonlinear neutral term in this article. By using the generalized Riccati transformation and inequality technique, two new Kamenev-type oscillation criteria are presented that can be used in cases when the known results fail to apply. Our results extend and improve some related results reported in the literature.

oscillation; variable delay; nonlinear neutral

2016-06-26.

廣西教育廳科研項目(2013YB223)；碩士學位授予單位立項建設(shè)項目(桂學位[2013]4號)；梧州學院2014年校級科研重大項目(2014A003).

楊甲山(1963-), ORCID: http://orcid.org/0000-0002-0340-097X，男，教授，主要從事微分方程的理論與應用研究，E-mail: syxyyjs@qq.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.005

O 175. 7

A

1008-9497(2017)03-274-07