高中數學概念教學的思維視角

周芳芳

[摘 要] 從思維視角下研究高中數學概念教學，可以把握概念教學的本質. 因為數學概念本身就是抽象的結果，是數學思維的產物. 從思維視角下關注概念教學，應當從概念引入、概念構建、概念比較與概念應用四個環節來進行. 教師首先要建立思維研究的視角，然后在必要的情形下對學生進行引導. 強調思維視角并不忽視學生的數學體驗，有效的思維往往是建立在有效的體驗基礎之上的.

[關鍵詞] 高中數學；概念教學；思維

高中數學教學中，概念是以文字的形式出現在學生的面前的，而學生對數學概念的加工卻是基于思維的. 因此，數學概念實際上是思維的產物，而在思維加工的過程中，其加工對象直接影響著概念的得出過程. 從這個角度講，讓學生加工什么樣的對象，又決定了數學概念的形成過程具有什么樣的意義. 通常情況下，數學概念的教學屬于基礎的層面，而并不屬于直接面向數學評價尤其是數學考試的層面的內容，因此對于數學概念的構建的設計，往往都是基于教材而進行的. 這樣的好處是學生的思維加工往往比較簡單，數學概念就更加容易形成. 其不足就在于往往不能拓展數學概論的內涵，從而不能讓數學概念的學習成為學生思維拓展與訓練的更好場所. 因此，將概論教學納入思維的視角之下，有助于學生數學思維更好地形成. 本文試對思維視角下的高中數學概念教學作一深入探討，以求一些共鳴.

概念引入，有效打開學生的思維空間

概念引入的環節往往容易為教師所忽視，因為花費過多的時間并不會讓學生更快地獲得一個數學概念，這從傳統的課堂容量與教學效率的角度來看，是不劃算的. 但實際上，概念引入的過程如同老百姓種田時整理田地的過程，其雖然不直接促進種子的發芽，卻為種子的發芽奠定了很好的基礎. 同樣的道理，概念的引入過程，就是這樣的一個為概念構建提供基礎，為學生的思維打開空間的過程.

在“橢圓”概念的教學中，學生的思維一般會經歷這樣的兩個過程：一是學生根據生活的經驗知道橢圓的基本形狀，因此在描述橢圓的時候，往往是從“非圓”的角度進行的，但學生知道圓可以從“到定點的距離等于定值”的角度來描述，卻不知道橢圓該如何描述；二是學生有可能會根據圓的定義去描述橢圓，但卻無法具體、準確地確定橢圓的定義，因此需要教師提供新的素材，以讓學生的思維去加工. 通常情況下，教師提供的素材，就是讓學生直接或間接地去體驗橢圓的形成過程，如讓學生在兩根固定的釘子上系上一根較長的繩子，然后用筆拉直這根繩子，以得到一個橢圓的圖形. 有了這樣的體驗過程，學生對橢圓的描述往往就可以趨向準確定義.

盡管這樣的教學過程比較常見，但卻不意味著其中的價值已經被完全發現了，因為筆者注意到很少有對這樣的教學過程進行思維角度分析的情況. 事實上，學生在這樣的學習過程中，思維過程是值得研究的. 具體分析就可以發現，學生在此過程中經歷的是體驗之后形成概念的過程，這個過程相對于一般的教學過程而言，其有學生自己的體驗，而這樣的體驗實際上也是思維的結果. 因為在體驗兩根固定的釘子拉直一根線的過程中，固定的釘子就可以迅速地抽象成“定點”，而拉直的線就可以抽象成“固定的距離”，這樣的抽象過程，正是數學概念形成的重要途徑. 試想一下，如果沒有這樣的過程，那學生的思維只可能是在教師的牽引之下，進行純粹的、抽象的思維加工的過程，這對于從面的角度提高橢圓概念教學的有效性而言，是沒有益處的.

因此，概念的形成過程要高度重視，這種重視不僅僅是教學素材上的重視，也應當是學生思維視角下的研究性的重視.

概念構建，關鍵在于把握數學本質

事實上，在概念形成的過程中，也是有值得研究的地方的. 就拿橢圓概念的構建過程來說，學生是不是意識到這種構建方式的數學意義，是一個重要的視角，因為這也關系到學生的思維. 準確地說，就是關系到學生能否將生活過程轉換為數學過程，是否能夠用數學語言來有效地描述數學體驗甚至是生活體驗.

每一個數學概念都是用數學語言來描述的，而每一個數學語言形成的過程，就是一個從形象到抽象的過程. 這種過程對于學生的數學思維來說是至關重要的，而在像橢圓這樣的概念教學中，是可以讓學生認識到這一層含義的. 橢圓的定義中有集合的思想，這是橢圓概念構建的前概念；也有數學抽象的思想，這也是橢圓概念構建的前概念. 在從前概念向現概念的轉換過程中，學生的思維應當是從具象走向抽象的過程，如對學生自己的體驗的抽象，就是將具體的操作過程演變為表象的過程. 可以肯定地說，當學生后來再看到橢圓的定義的時候，大腦里想的肯定不是那個曾經的體驗過程，而是構建出來的極為抽象的到兩個定點等于定值的點、線表象.

需要強調的是，在這個教學過程中，教師有必要跟學生強調數學語言描述下的數學概念的本質含義. 也就是說，要讓學生明確地認識到，在數學學習的過程中必須經歷一個從生活體驗向數學體驗進而向數學表達轉換的過程，只有經歷了這樣的過程，才可以獲得真正的對數學學習的理解，也才可能構建出能夠讓自己真正理解的數學概念與規律. 應當說高中學生是具有這樣的思維基礎的，也是能夠認識到這種學習過程的重要性的. 事實證明，只要學生形成了這樣的認識，其數學學習的結果就不會差. 反之，如果一直在生活與數學之間無法厘清，那其數學學習一定會比較迷茫，自然也就不會有什么很好的效果. 說白了，這就是對數學本質認識是否到位的問題，自然也就是一個思維問題.

概念比較，貴在運用求同求異的思維

在上面第一點的闡述中還有一個問題值得研究，那就是學生所經歷的構建橢圓概念的兩個過程，實際上也就是通常橢圓概念的形成過程. 從知識構建的角度來看，這已經完成了教學任務，但從學生的思維角度來看，實際上還給人一種意猶未盡的感覺. 因為比較圓與橢圓的定義，實際上可以發現兩者的定義方式是一樣的，只不過圓是相對于一個定點而言，而橢圓是相對于兩個定點而言的. 這樣的過程中既有相同的地方，也有不同的地方.

相同的地方是圓與橢圓定義方式的相似性，不同的地方是構建出來的圖形的形狀是不同的. 這種同中有異、異中有同的情形，實際上是高中數學教學中非常好的一種情形，可以培養學生的比較思維.

筆者在教學中嘗試引導學生進行比較，而學生也總能相對順利地發現圓與橢圓概念及其定義的異同. 這種比較有什么結果呢？筆者最大的認識就是發現其可以拓展學生的思維. 因為有一次在比較的過程中收獲了一個極好的“意外”，這個意外就是學生在比較圓與橢圓的過程中提出了一個問題：在生活中看到的雞蛋是不是也有一個定義？是不是也可以用橢圓的定義的方式給出一個定義？

這個問題在常規的思維之下可能只會在課堂上一笑了之，可是這一次在學生提出這個問題之后，筆者引導學生思考：你覺得雞蛋的外形與橢圓有什么不同？學生自然也就很迅速地提出：橢圓是對稱的，兩端大小是相同的，而雞蛋則是一頭大一頭小. 于是筆者緊緊抓住學生的這一認識，讓學生通過這一特征去猜想雞蛋外形所可能具有的定義方式，當然也跟學生強調可以從曲線方程的角度去猜想雞蛋的方程.

這絕對是一個培養學生思維的過程，因為在比較的過程中，學生以能夠緊緊扣著自己構建出來的雞蛋平面圖的表象，從非對稱的角度去思考其可能的定義或方程. 而當學生根據橢圓方程去猜想雞蛋的方程是不是可以在l1+l2=C的系數上作一些改動時，這已經是一種非常了不起的思維了，因為雞蛋的方程確實也就是如此的. 反思這樣的思考過程，可以發現其就是比較思維的求同求異的結果.

概念運用，強調數學情境有效刺激

概念的運用也是概念教學的一個重點，通常情況下概念的運用也只是一些簡單的概念辨析或者是直接運用，其對思維的作用是有限的. 如果能夠在一種情境的創設之下去促進學生的概念運用，那效果往往會好很多. 這一點其實同行并不是很陌生，筆者只想強調的一點就是：情境對概念的作用，應當體現在學生的遷移能力上. 即給出學生一種相對陌生的情境，讓學生去嘗試概念的運用，這往往能夠培養學生的知識遷移能力，也是考查學生對概念是否真正理解的最好方法.

在這個過程中，有效的情境往往體現在其對學生已有數學知識的刺激上，即好的情境是可以刺激出學生的已有概念認知的. 如筆者在橢圓教學中給出al1+bl2=C（a不等于b且不為0）的方程并要求學生去猜想其形狀時，學生的思維就能夠被有效激活，但又尋找不到這樣的原型，因此只能根據已有的知識去猜想、去推理，這實際上就很好地培養了學生的思維遷移能力.