對一“易錯點分析”的再分析

蘭詩全

[摘 要] 對一本教學參考書給出一例的解答和它的“易錯點分析”進行再分析，并引發若干思考，旨在擊中要害，揭示本質.

[關鍵詞] 易錯點；問題思考；再分析

問題緣起

一本教學參考書給出以下一例的解答并做了易錯點分析.

題目：在△ABC中，已知a=6，b=5，A=2B，求c的值.

解答：因為=，A=2B，所以=，解得cosB=.

在△ABC中，由余弦定理得25=36+c2-2·6c·，即5c2-36c+55=0，

解得c=5或c=.

檢驗：當c=5時，c=b，則C=B. 又因為A=2B，所以2B+B+B=π，解得B=，所以cosB=，這與cosB=矛盾，所以c=5舍去，所以c=.

易錯點分析：通過余弦定理建立方程，解方程求三角形的一條邊是余弦定理的常見應用，其解的個數要進行檢驗.即使方程有兩個正根，三角形也不一定有兩個解，還要結合條件，利用三角形內角和定理，大邊對大角等進行檢驗，以防增根混入. 在本例中，如果不加驗證，就會得到c=5這一增根. 在問題“已知△ABC中，a=8，b=7，B=，求c的值”中，由余弦定理建立方程可解得兩個正根c=5或c=3，經檢驗可以斷定，c=5和c=3都是該問題的解，故該問題有兩解.

思考：以上問題中的易錯點分析精準到位嗎？它揭示問題本質了嗎？

與問題有關的一個命題

命題：已知三個正實數a，b，c，且a≤b≤c，角C∈（0，π），若滿足cosC=，則a+b>c.

證明：因為0

所以a>0，b>0，c>0，

所以a2+b2-c2<2ab，a2+b2-c2>-2ab，

所以（a-b）2c2，所以a+b>c.

所以不難有結論：若三邊滿足余弦定理，則這三邊一定能構成一個三角形.

由問題引發的幾點思考

思考一：通過余弦定理建立方程，解方程求三角形的一條邊是余弦定理的常見應用，其解的個數不要進行檢驗. 即方程有兩個正根，三角形也一定有兩個解；若只有一個正根，則三角形只有一個解；若沒有正根，則不存在滿足條件的三角形.

以上易錯點分析問題“已知△ABC中，a=8，b=7，B=，求c的值”中，由余弦定理建立方程可解得兩個正根c=5或c=3.“經檢驗可以斷定，c=5和c=3都是該問題的解，故該問題有兩解”是多余的，無須檢驗！因為結合條件，利用三角形內角和定理，大邊對大角等進行檢驗，此時檢驗的目的是三邊能否構成三角形. 但“若三邊滿足余弦定理，則這三邊一定能構成一個三角形”. 這一點必須清楚，要深思悟透，才能準確地解答與余弦定理有關的問題.

思考二：問題緣起中的題目“在△ABC中，已知a=6，b=5，A=2B，求c的值”的解答為什么會產生增根呢？從哪里產生的增根？此時為什么要檢驗？

細心研究解答中：因為=，A=2B，所以=，先解得cosB=. 但由cosB=會保證A=2B一定成立嗎？當cosB=時，可得=，

所以=. 又因為=，所以sinA=sin2B. 所以0

再利用余弦定理得25=36+c2-2·6c·，即5c2-36c+55=0，解得c=5或c=. 此時求出的c只能保證cosB=，而不能保證A=2B，因為也可能A+2B=π，所以要檢驗！在檢驗中：當c=5時，c=b，則C=B，也正是滿足A+2B=π這種情況，所以c=5是增根. 以上增根產生的根本原因是條件不等價轉化（A=2B？圯cosB=，但cosB=推不出A=2B）造成的，而不是由應用余弦定理而產生的. 這點要明白！

思考三：通過分析反思，探索研究，應領悟出數學解題的內在規律. 解題要充分關注條件轉化是否等價.已知條件的相互轉化要盡可能保證滿足等價性，弱化了條件（如以上分析cosB=只是A=2B的必要不充分條件）往往會產生增根，要檢驗！強化了條件往往會遺根，要找回.