用圖式理論理解高中數學教學的嘗試

萬凌霞

[摘 要] 圖式理論是經典的教學理論，在課程改革以來的教學語境中，圖式理論有被邊緣化的情形. 在核心素養引領教育的背景下，進一步研究圖式理論，可以為高中數學教學帶來有益的啟示. 一線教師可以從圖式理論如何解釋學生的數學學習，如何指導高中數學教學角度來展開研究，并在實踐的基礎上展望圖式理論可能發揮的作用.

[關鍵詞] 高中數學；圖式理論；教學理解

圖式理論是描述學生學習的基本理論，在近年來高中數學教學研究中，看到不少仍然堅持從圖式理論角度來研究高中數學教學的文獻，這一點特別值得肯定，因為近二十年來，關于高中數學教學的研究更多的是在教學方式、教學形式上做文章，在筆者看來這是必要的，因為教學的形式常常決定了教學內容能否有效地被學生內化，這對于高中數學教學來說尤為必要. 可以肯定的是，通過教學方式與教學形式的改變，可以讓學生更好地進入學習的狀態中來，從而促進學生更好地完成數學知識的構建. 但同時不可忽視的是，教學形式與方式的改變，只能是從學生的學習表象處研究并施力，要真正了解學生的學習機制，那還得從內在的因素入手，而圖式理論就是一個很好地解釋學生學習內在機制的理論. 考慮到高中學生在數學學習中表現出來的不同程度的困難，筆者以為在學科核心素養引領教學的今天，更需要用這些經典理論來研究并理解學生的數學學習.

圖式理論如何解釋高中生數學學習

在筆者與同行交流的過程中發現，其實只要是經過基本的師范教育的同行，對圖式這一概念還是比較熟悉的，但對圖式的內容相對就陌生了一些. 而在筆者的研究中也發現，其實不同理論流派對圖式的解釋也有所差異，因此這里只選擇獲得相對普遍認同的理解，來作為解釋高中學生數學學習過程的內容，并以之支撐對高中數學教學的研究. 這里闡述三個層次的內容：第一個層次，認識圖式，圖式是表征學生在學習過程中形成于記憶中的基本概念；第二個層次，理解圖式，圖式被認為是一個“知識包”，這個知識包中的不同知識在學生受到外界刺激（這里指服務于學習的問題刺激）時，可以向學生的思維提供各種材料，以保證學習可以順利發生；第三個層次，圖式理論，圖式理論通常被認為是圖式如何在學生的學習中發揮作用的理論.

有人為了普通教師更好地理解圖式，提出了這樣的觀點：既然圖式是為了解釋學習的，那圖式就應當是一個心理模型. 筆者以為，從模型的角度來認識圖式，最大的好處就是其可以為教師研究學生的學習提供一個整體性思路，使得教師可以用這個模型去解釋學生的學習. 事實上在筆者在用圖式理解學生的數學學習的時候，恰恰就是將其當模型使用的. 這里不妨以“拋物線”的學習為例，來看看圖式理論是如何發揮作用的.

高中階段的拋物線學習，是在原有基礎上研究拋物線的標準方程、幾何性質等問題. 通常情況下，拋物線的教學遵循著這樣的幾個基本環節：一是通過生活中實例的提供，讓學生認識到生活當中是有拋物線（面）的存在的；二是通過拋物線定義的給出，通過一系列的邏輯推理來得出拋物線的標準方程；三是通過一定的形式（通常都是表格）來構建對拋物線標準方程在不同形式下的圖形、焦點坐標、準線方程、開口方向等要素的理解. 從拋物線的邏輯來看，這樣的教學順序是合理的，而從學生的認知發展角度來看，這樣設計的奧妙就可以從圖式理論角度來給予解釋.具體闡述如下：

第一，生活實例的提供，讓學生認識到拋物面是由拋物線旋轉而成的. 通常情況下，這樣的表述在教學中常常被一語帶過，但在筆者看來其實可以稍微多花點時間讓學生去構建想象的表象. 因為此時，學生原有的圖式中是有拋物線的表象的，提到拋物線，學生第一反應就是腦海中會出現一個開口向上、頂點在原點處的拋物線，如果讓學生對此表象進行動態加工，讓學生想象其圍繞y軸轉動，就可以得到一個拋物面. 這個過程中，拋物線表象的出現，以及生成的拋物面的想象表象，都是圖式在發揮作用.

第二，當教師呈現“拋物線是平面內到一個定點F和一條定直線l（F不在l上）距離相等的點的軌跡”，并給定F點就是焦點，l就是準線的界定. 在此基礎上，學生的學習就圍繞推理得出拋物線的標準方程而進行. 這個過程中，圖式發揮的作用是，用圖式中的邏輯推理為學生理解加工拋物線的定義，而思維的加工過程，就是拋物線標準方程形成的過程，在此過程中直角坐標系的建立、焦點到準線距離的設定（這一點在前面的圓錐曲線的學習中學生是有經驗的）、等式的得出直至y2=2px（p>0）的得出，其實都是圖式中的“知識表征以及知識如何運用”等在發揮作用.

這里不妨說明一下，如果學生在拋物線的學習中出現了困難，那就是這些學生的圖式中對相關知識的表征不完整，或者是這些知識的運用出現了問題，這也意味著教師的教學重心應當落在完善學生的圖式上. 關于這一點，下面進行詳細的描述.

如何用圖式理論指導高中數學教學

高中數學學習的過程中，會出現很明顯的分層現象，總分150分的試卷常常會出現高的近乎滿分，低的才十幾二十幾分. 造成這樣的差距的原因是多方面的，很多時候教師與學生一起三年的努力也未必能夠改變多少，但筆者發現如果從圖式理論角度來對這些加以解釋并做出改進，數學教學的思路會更加明晰. 當然，考慮到文章的方向，這里不針對分層教學做出過細的解釋，只從高中數學學習的一般規律角度，針對學生在數學知識建構過程中出現的困難來給予解釋.

仍以上面的“拋物線”教學為例.有的學生在構建拋物線最初就會遇到困難，為什么呢？因為其大腦中的拋物線表象是模糊的，其在構建拋物面的想象表象時也是有困難的.如果教師在教學中關注到這類學生的這一問題，那就可以采取一些預設的教學手段，比如說用多媒體呈現一個動態的拋物線旋轉形成拋物面的圖形，這就可以讓這些學生順利地跨過形成表象、加工表象這一困難. 當然，這里要注意教學順序：不能一下子就呈現動畫，而應當先讓學生想象—滿足圖式中材料充足者的需要，然后再呈現—豐富這一類學生的圖式，這樣就可以滿足不同學生的學習需要.

再談學生對拋物線定義的理解.在呈現拋物線定義的時候，是以文字形式，還是圖片形式，其實也是需要教師認真思考的. 因為文字形式與圖片形式對于學生的思維方式來說是不同的，提供文字意味著學生需要的是抽象思維，呈現圖片意味著學生所需要的是形象思維. 盡管我們說高中學生的抽象思維能力比較強，但不要忘了圖式理論同時提醒我們：如果學生在學習的過程中遇到困難的時候，他們很可能會退回到更低級的思維方式上去.形象思維相對于抽象思維而言，是一種較為低級的思維方式（這里的低級并無貶義，而是指思維的層次性），因此在這一教學環節中，讓學生的思維方式充分發揮應有的作用，就需要教師認真斟酌. 筆者的觀點是，高中數學知識體系的建立更多的需要依賴于抽象思維，而形象思維通常是發生在新概念或規律的形成過程中，那拋物線作為一節新課的學習，更多的還是應當先以學生的形象思維作為支撐，即先用圖片（也可以是幾何畫板制成的動畫）來刺激學生的形象思維，這樣可以保證絕大總分學生的學習需要；其后再通過表格來呈現不同形式的拋物線的標準方程以及各個方面的性質，則可以從抽象思維角度刺激學生構建關于拋物線的認知結構. 筆者以為，這樣的選擇是一個比較合理的運用圖式指導拋物線學習的選擇.

又如學生在利用拋物線知識解決問題的過程中，也需要引導學生用圖式來實現有效的思維加工. 關于這一點，專家研究得最多的就是新手與專家（比如說教師）的區別，研究發現專家與新手面對同一個問題時，所選擇的解決問題的模型是不一樣的，而建構出什么水平的模型就與圖式有關. 讓學生實現從陳述性知識向程序性知識的轉化，是提升圖式水平的重要舉措，在運用拋物線解決的情境中，就是要讓學生將定義性知識、表格中的陳述性知識轉換為基于不同標準方程的拋物線的結構性知識.

基于圖式理論展望高中數學教與學

回顧已有的高中數學教學，展望學生未來的數學學習，在課程改革的理念之下，當教師將研究的目光從研究教學轉向研究學生的學習然后再研究教學時，就意味著圖式理論可以在高中數學教學中發揮重要的作用，也意味著學生的數學學習可以在建構更好的圖式基礎上獲得發展.

這里需要特別指出的一點是，對于學生的數學學習來說，提高圖式的自動化是提高教學效益的關鍵途徑. 研究表明，當圖式的自動化程度越高時，學生的思維加工更容易被釋放，而這對于高中數學教學來說是極為珍貴的，因為這意味著學生可以將更多的思維（工作記憶）投入問題理解與解決當中去.

總之，基于圖式理論展望高中數學教學，可以更好地抓住學生的思維本質，從而促進數學教學沿著健康的軌道順利發展.