數學教學中思維導圖教學法的實踐與思考

錢琳

[摘 要] 思維導圖教學法是一種以圖形作為載體，以知識主次、輕重程度作為枝葉發散的一種思維訓練法.其與中學數學教學進行結合，有助于提高教學的有效性.

[關鍵詞] 思維導圖；數學；函數；數列；教學

美國圖論學者哈里有一句名言：As a map of thousands and thousands of words. 譯成中文就是：千言萬語不如一張圖. 這與課程標準提出的“數學需要恰當的形式化，并輔以非形式化手段進行合理的教學”有如出一轍的道理. 思維導圖的創立者、英國心理學家巴贊正是基于大量的實踐研究，提出了學習需要利用圖形使其更有條理的策略，這讓這種思維訓練方式風靡全球.

從高中數學角度來看，其擁有紛繁復雜的知識點，并且我們發現在復習階段，這些知識點一條條的羅列，讓學生記憶、理解這些知識失去了條理性和規律性，使得這么多知識以單一的形態呈現，讓數學學習失去了效率. 簡單地說，思維導圖是一種利用圖形化策略表達思維軌跡的圖形工具. 按照哈里的觀點，每一張思維導圖是圍繞一個主題進行設計創編的，若有多個主題，自然需要多張思維導圖進行設計. 一般來說，知識點就是數學思維導圖的中心，其概念、性質、公式等成為中心的多條輻射路線，組成一個思維核心. 這一教學方式比較普遍運用于國外教學機構，其避免了教學中出現的兩種極端學習方式：第一，上課不抄筆記，導致不斷遺忘，學習效率低下；第二，上課不停抄寫筆記，沒有時間思考，思維啟發和理解缺失. 思維導圖正是將這些不足進行了合理的劃分，讓學生在數學學習中顯得更有針對性和目的性.

為何需要思維導圖

中學數學分為兩個教學階段：初中數學和高中數學. 從教材內容來看，初中數學更多是以感性的架構承載知識，讓學生獲得一步一步走向形式化的學習途徑；而高中數學相比而言來得更為抽象，西南師大陳重穆等教授一直對當下高中數學教學過于抽象、形式化的過程和結論提出了不同的意見，認為其阻礙了更多學生喜歡數學、欣賞數學的道路. 從數學素養的角度來說，筆者也非常認同這樣的想法. 陳教授提出了以重要核心知識點為中心，以其發散形成思維導圖，將多個重要核心知識銜接形成導圖群的想法.

為何要這么做？這與學習知識日益增多以及學習時間日益減少有關. 從課程改革多次以來，中學數學內容有增無減，以往傳統經典內容加上大學初步都進入高中數學教材必修與選修，導致學習過程中知識體系紛繁復雜、凌亂無比，亟需高效的思維工具進行梳理和提煉.這是思維導圖進入數學教學的重要因素之一.

以二次函數為例，對于剛剛進入高中學習的學生，教師引導學生建構頭腦中對二次函數知識點的思維導圖，可以從其定義、圖像和性質、解析式常見的四種求法以及二次函數的應用建構二次函數在我們日常學習中的主要作用和地位.

在這一基礎上，學習高中數學的函數性質之后，筆者請學生也繪制了相關知識的思維導圖：從函數性質的角度而言，函數單調性、奇偶性、周期性是函數最基本的三大性質，其地位也是逐漸遞減，并指導學生認知單調性的主要作用是研究函數的最值，奇偶性的主要作用是事倍功半，周期性的主要作用是循環往復. 讓學生在理解的基礎上，將一系列相關性質繪制成思維導圖（圖2為學生繪制），學生還將抽象函數中的奇偶性、周期性的相關公式在導圖中進行復習鞏固. 從這一思維導圖來看，制作顯得比較粗糙，但是總體上讓學生自身對于函數相關的重要性質有了清晰的認識，是一種非常有效的思維工具.

如何制作思維導圖

對于章節性的思維導圖制作，相對而言一般比較簡單，甚至有很多相關資料可以參考. 筆者認為，這是傳統的思維導圖制作的常見結論，如何制作更具有目的性的思維導圖？如何制作符合學生在具體解決數學實際問題的思維導圖？這才是符合數學教學、與時俱進的思維導圖，其具備了數學教學的實踐性.以數列構造求解通項為例，教師設計問題串，通過問題串的解決，引導學生建構遞推數列求解通項的思維導圖的設計.

問題1：已知數列{an}滿足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通項an.

分析：令an+λn+u=2[an-1+λ（n-1）+u]，整理得an=2an-1+λn-2λ+u. 由待定系數法得λ=1，-2λ+u=-2，得λ=1，u=0.所以an+n=2[an-1+（n-1）]（n≥2），即{an+n}是以a1+1為首項，2為公比的等比數列，得an=2n-n.

問題2：{an}滿足a1=1，an+1=2an+n2，求通項an.

分析：由an+1=2an+n2及上述構造，令an+1+λ（n+1）2+u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），整理得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+v-u-λ.由待定系數法得λ=1，u-2λ=0，v-u-λ=0，得λ=1，u=2，v=3，所以=2，即{an+n2+2n+3}是以a1+1+2+3為首項，2為公比的等比數列，所以an=7·2n-1-n2-2n-3.

問題3：設數列{an}的前n項和為Sn，滿足2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*，且a1，a2+5，a3成等差數列. （1）求a1的值；（2）求數列{an}的通項公式.

分析：由2Sn=an+1-2n+1+1可得2Sn-1=an-2n+1（n≥2），兩式相減可得2an=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n. 運用整體思想，an+1=3an+2n？圯an+1+2n+1=3（an+2n），所以數列{an+2n}（n≥2）是一個以a2+4為首項，3為公比的等比數列. 由2a1=a2-3可得a2=5，所以an+2n=9×3n-2，即an=3n-2n（n≥2）. 當n=1時，a1=1也滿足. 故數列{an}的通項公式是an=3n-2n.

問題4：設數列{an}的前n項和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn. （1）證明：當b=2時，{an-n·2n-1}是等比數列；（2）求{an}的通項公式.

分析：由題意知a1=2，且ban-2n=（b-1）Sn，ban+1-2n+1=（b-1）Sn+1，兩式相減得b（an+1-an）-2n=（b-1）an+1，即an+1=ban+2n？搖①.

（1）當b=2時，由①知an+1=2an+2n. 令an+1+λ（n+1）2n+1=2（an+λn2n），易得λ=-. 所以{an-n·2n-1}是首項為1，公比為2的等比數列.

（2）當b=2時，由（1）知an=（n+1）2n-1；當b≠2時，同理得an+1+λ2n+1=b（an+λ2n），λ=-，易得an=[2n+（2-2b）bn-1].

說明：請學生制作相關思維導圖，在上述問題串中以等比構造為主的遞推通項求解中，我們不難發現形如an+1=pan+f（n）一類問題的通項求解都有一定的規律可循. 這種規律將f（n）變換為不同函數模型情況下的問題進行了思維總結，無論是常數函數、一次函數、二次函數，還是指數函數，都可以利用整體性思想進行思考和總結. 這種思維導圖具備了解題的實效性，對于中學生學習數學而言是必不可少的歸納和思考. 將問題解決的過程以單元存儲的方式進行思維導圖總結，有助于知識的擴散和思維的啟迪，有興趣的讀者可以進一步思考f（n）能否是對數函數模型，能否是對勾函數模型，能否都是高次函數模型. 這些思維導圖結合具體數學解題知識的建構是中學數學最為有效的實踐.

一點思考

思維導圖是一個流行于全球的思維工具，其在其他學科也有著較為廣泛的運用. 從今天數學教學來看，筆者以為其有著不錯的使用價值. 筆者記得在大學就讀時，復變函數的教授就曾經讓筆者給復變知識體系繪制過思維導圖，在整體層面上對復變函數有了新的理解.

從中學數學實踐來看，筆者有了一些思考：

（1）整章型的思維導圖有助于學生認知知識體系，培養數學素養，理清知識脈絡，對其站在系統的角度思考知識的重要性有著不小的作用.

（2）對于中學生更為重要的是單一知識的思維導圖，特別是解題的實踐運用和總結，如文中給出的問題串求解數列模型，并在最后請學生將思維進行導圖型總結，這種以案例式為載體的導圖建構大大理清了數學知識難點的困惑，提高了應試的有效性.

限于篇幅和水平，筆者未能在其他方面做出更全面性的認知，懇請讀者提出相關的寶貴意見，對思維導圖在中學數學教學中的運用指出更為有效的使用價值.