運用相似三角形解決平衡問題

李煜星

摘要：在研究受力問題時，選取不同的方法求解。但是，有關長度和力的問題、非特殊三角形問題、看似條件不足的動態平衡問題、已知角或求角問題等，根據筆者三十多年的教學經驗來看，運用相似三角形解決上述類型的題目比較好，相對比較簡單。

關鍵詞：相似三角形；長度和力；平衡；非特殊三角形；角

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）03-0086

當所選研究對象受三個力時，用合成法求未知力，畫出平行四邊形，根據已知條件不同，選取不同的方法求解。以下幾種情況用相似三角形法比較好，相似三角形法是通過力的三角形與幾何三角形相似求未知力。

一、有關長度和力的問題

解三角支架習題時常有兩種已知條件給法，一種是已知邊長，另一種是已知角，都是求力，但解法不同，當然這類題用正交分解法也可以解出。

例1. 在三角架上的B點用一根細繩掛在一個重為G的物體，如圖1所示，求橫梁AB 和斜梁BC受l到的力各為多大？已知三角架AB=L1，Bc=L2，橫梁AB水平。（解略）

例2. 如圖2所示，長為5 m的細繩的兩端，分別系于豎直在地面上相距為4m的兩豎直桿的兩端A、B上，繩上掛一光滑的輕質掛鉤，其下拴住一個重為12N的物塊，平衡時繩中的張力 F=

解：如圖3，連CD，作繩中張力兩個 F（即F1=F2）的合力與重力等大反向，對角線相互平分且垂直，很顯然θ1= θ2=θ，力的三角形與長度三角形相似，由長度三角形可得OC+OD=（OA+OB）sinθ，所以sinθ=4/5，由力的三角形可得 F=（G/2） cosθ=5G/6=10N。

二、非特殊三角形問題

例3. 一個表面光滑的半球形物體國定在水平面上，在其球心 O的正上方一定高度處國定一個小滑輪，一根細繩的一端拴一小球，置于球面上 A點，另一端繞過定滑輪，如圖4所示。現緩慢地拉動細繩的另一端，使小球沿球面從A點拉到B點，在此過程中，小球所受球面的支持力 FN 及細繩對小球的拉力FT的變化化情況是：

A. FN變大，FT變小；

B. FN變小，FT變大；

C. FN不變，FT變小；

D. FN變大，FT變小；

解：小球緩慢上移，可認為小球始終處于平衡狀態，故小球所受拉力FT 與小球所受支持力FN的合力跟小球的重力G等值反向，即FT與FN的合力應豎直向上，大小恒為 G，支持力FN與球面垂直，FN的作用線通過兩球心，小滑輪光滑，細線上各點張力大小相等，因三個力FN、FT、G組成三角形與ΔAOC 相似即可求解。

在小球上升的過程中，AO與CO的長度保持不變，只有AC的長度逐漸減小，可見拉力FT變小，支持力FN大小保持不變，故選項C正確。

點評：本題從物理思想上看，上面的解法稱為平衡法或合成法，從數學方法上看，稱為相似三角形法。可見，若為特殊三角形教學中用三角函數就可以解出且較簡便，而非特殊三角形用相似三角形法更簡單。

三、看似條件不足的動態平衡問題

例4. 如圖6所示，豎直桿OB頂端有光滑輕質滑輪，輕質桿OA自重不計，可繞O點自由轉動，OA=OB。當細繩緩慢放下，使∠AOB由O0逐漸增大到1800的過程中（不包括），下列說法正確的是：

A. 繩上的拉力先逐漸增大后逐漸減小；

B. OA桿上的壓力先逐漸減小后逐漸增大；

C. 繩上的拉力越來越大，但不超過2G；

D. OA桿上的壓力大小始終等于G；

解：作出結點 A的受力分析圖，如圖7所示， 即可知繩的拉力 F始終小于2G。

四、己知角或求角的問題

一般來說，已知角或求角的問題，我們都比較習慣于正交分解法，但有些問題用相似三角形法更簡單。

例5. 一個重為 G的小環套豎直放置的半程為R的光滑大圓環上，一個勁度為k，原長為 L（L<2R）的輕彈簧，一端固定在大圓環頂點 A，另一端與小環相連，小環在大圓環上可無摩擦活動，小環靜止于B 點時，如圖8所示，求彈簧與豎直方向的夾角。

解：小環受到重力 G，方向堅直向下，受到彈簧彈力的作用線一定與AB 重合。根據平衡條件不難判斷，彈簧是處于伸長狀態，彈力只能沿BA方向指向A，大環對小環的作用力是沿著半徑方向斜向下，重力 G與FN的合力與彈簧的作用力F是一對平衡力，由幾何關系得：AB=2Rcosθ，

再由三角形相似，對應邊成比例可得

（作者單位：內蒙古包頭市一機一中 014030）