基于公共權重的魯棒DEA模型研究

張冉++冉倫++李金林++褚宏睿??

摘要：傳統DEA模型允許決策單元自由選取對其最為有利的投入產出權重，以獲得最大的效率。相比之下，公共權重DEA模型采用統一的權重，更加適合統一管理的組織對各部門進行效率評價。此外，由于DEA方法是一種基于現有數據進行建模的方法，而現實生活中的數據往往是不精確的，因此，在建模的過程中考慮數據的不確定性十分重要。本文對Chen等提出的多目標公共權重DEA 模型進行了簡化。在此基礎上，利用魯棒優化方法，建立了基于公共權重的魯棒DEA模型，并與Omrani提出的模型進行了對比。數值算例表明本文提出的方法有效，求解計算量更少，得到的公共權重更加合理。

關鍵詞：數據包絡分析；公共權重；魯棒優化；效率評價

中圖分類號：C934文獻標識碼：A文章編號：10035192（2017）02006906

doi：10.11847/fj.36.2.69

Robust Data Envelopment Analysis Based on Common Weights

ZHANG Ran， RAN Lun， LI Jinlin， CHU Hongrui

（School of Management and Economics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China）

Abstract：In traditional DEA models， different decision making units （DMUs） are free to choose weights that are beneficial for themselves to obtain a high efficiency. While the common weights DEA models use common weights to assess different DMUs， which seems more suitable for the centralized organizations. Besides， DEA is a dataoriented method. However， the inputs and outputs data in reallife problems are often imprecise. Thus we should take the data uncertainty into consideration. In this paper， we simplify a multiobjective common weights DEA model proposed by Chen et al. Under the consideration of data uncertainty， we establish a robust multiobjective DEA model and make a comparison between our model and Omranis. The results of numerical example show that our approach is reasonable and acceptable， our computation amount is less and the common weights derived from our model are more reasonable.

Key words：data envelopment analysis； common weights； robust optimization； efficiency evaluating

1引言

數據包絡分析方法（data envelopment analysis， DEA）經常被用來評價具有相似的多項投入和多項產出的決策單元（decision making units， DMU）的相對效率。傳統的DEA模型（如Charnes等[1]提出的CCR模型和Banker等[2]提出的BCC模型）允許決策單元自由選取投入和產出權重以達到其最大的效率值。因此，不同決策單元投入產出的權重也不相同。這些權重不能直接用來比較所有決策單元的效率[3]。為了尋求能夠被大多數決策單元廣泛接受的統一的權重，一些學者提出了公共權重DEA模型[4]。

在對公共權重DEA模型的研究中，由于多目標線性規劃和DEA方法都是尋求帕累托有效的非劣解，因此，很多學者自然地將多目標線性規劃和DEA方法相結合，并取得了一些成果。Golany[5]最早將交互式多目標線性規劃和DEA方法相結合，在給定投入水平和偏好信息的情況下，提出了一種尋求有效產出水平的方法。Li和Reeves[6]提出了一個包含三個目標函數的DEA模型，分別為最大化經典DEA模型中的效率得分，最小化最大的效率偏差（無效DMU與生產前沿的距離），最小化效率偏差的總和。通過求解該多目標模型，可以獲得一組公共權重。此后，Kao和Hung[7]基于實際效率得分與理想效率得分的差距建立了一個公共權重DEA模型。在此基礎上，Zohrehbandian等[8]進行了拓展，將Kao和Hung建立的非線性規劃問題轉化為線性規劃問題。然而，大多數多目標公共權重DEA模型在求解時都需要事先選定一個適當的參考點，通過最小化與理想參考點的距離來獲得公共權重，進而進行效率排序。與此不同，Chen等[9]以同時最小化所有決策單元投入和產出的加權差為目標函數，提出了一個新的多目標DEA模型。由于目標函數是投入產出差而非投入產出比，因此其理想參考點為n維零向量（0，0，…，0），其中n為決策單元的數量。這種方法不再以傳統DEA模型計算的效率為參考點，減少了計算量，當決策單元的數量較大時該優勢會更加明顯。因此， 本文對Chen等提出的多目標公共權重DEA模型進行了簡化，并在此基礎上進一步考慮數據不確定性展開研究。

張冉，等：基于公共權重的魯棒DEA模型研究

Vol.36， No.2預測2017年第2期

以上研究都是在假設投入和產出數據是精確的前提下進行的。然而，在現實生活中，很多投入產出的數據都存在著一定的擾動，稱為不確定性。魯棒優化在解決不確定問題建模中有較好的表現，因此得到了廣泛的研究和應用。其目的是求得這樣一個解，對于可能出現的所有情況，約束條件均滿足，并且使得最壞情況下的目標函數值最優。Soyster[10]，BenTal和Nemirovski[11～13]以及Bertsimas和Sim[14～16]等在該領域進行了一系列的研究。其中Bertsimas和Sim[14～16]針對不確定集合為多面體的情況提出的方法，得到的魯棒等價問題是一個線性問題，并且可以通過調整參數取值來權衡解的保守性和最優性。這種方法不僅保留了Soyster提出的魯棒優化方法的線性優勢，同時也能以較高的概率保證解的魯棒性不遜于BenTal和Nemirovski的方法。因此，很多學者將Bertsimas和Sim提出的魯棒優化方法應用到不同的研究領域中。

在DEA方法中，各投入產出權重也是通過求解一個個優化問題來獲得，因此有學者將魯棒優化思想應用到DEA模型中。其目的是尋求一組最為穩健的排序，該結果對投入和產出數據在一定范圍內的不確定性有較好的免疫。Sadjadi和Omrani[17]對傳統的BCC模型，分別建立了基于BenTal和Nemirovski，Bertsimas和Sim的魯棒優化方法的魯棒DEA模型，并指出基于Bertsimas和Sim的魯棒DEA模型更加容易求解。隨后，他們又將Bertsimas和Sim的魯棒優化方法應用到不同的DEA模型中[18，19]。Omrani[20]基于Kao和Hung提出的公共權重DEA模型建立了一個魯棒公共權重DEA模型，并利用該模型對伊朗汽油公司的效率進行了評價。Lu[21]也分別基于BenTal和Nemirovski，Bertsimas和Sim的魯棒優化方法建立了魯棒DEA模型。文獻[17～21]都是將魯棒優化和DEA相結合進行的嘗試，對本文有很大的啟示。

現實生活中，很多統一管理的組織在對各部門進行評價時，往往會尋求一種較為公平的公共權重。由于選取的某些數據存在著一定的不精確性，因此考慮數據的不確定性進行DEA建模也十分必要。本文針對這種情況，首先對Chen等提出的多目標公共權重DEA模型進行了簡化。隨后引入Bertsimas和Sim提出的魯棒優化方法，在投入和產出數據中加入了擾動項，建立了基于公共權重的魯棒DEA模型。并將其與Omrani提出的公共權重魯棒DEA模型進行了對比，詳細說明和討論了兩種方法的區別。最后通過數值算例驗證了本文提出的方法有效，結果顯示，相比Omrani提出的公共權重魯棒DEA模型，本文的方法對參考點的選擇更加巧妙， 模型求解計算量更少，得到的公共權重更加合理。

5結論與啟示

現實生活中，管理者獲取的數據很難保證精確性，在這種情況下利用數據進行評價時就必須考慮到數據的不確定性。本文正是考慮在數據不精確的前提下，統一管理的組織對各部門進行效率評價的情況。首先簡化了Chen等提出的多目標公共權重DEA模型，然后考慮數據的不確定性，應用Bertsimas和Sim的魯棒優化方法，引入魯棒代價參數，建立了基于公共權重的魯棒DEA模型。本文建立的魯棒DEA模型允許投入產出數據在名義值附近的一個小的范圍內波動，而且得到的結果可以以一定的概率保證解的有效性。因此，由該方法得到的排序結果是穩健和可靠的。通過數值算例，對比了本文提出的基于公共權重的魯棒DEA模型和Omrani提出的公共權重魯棒DEA模型。結果顯示，本文提出的模型有效，求解過程計算量小，得到的公共權重更加合理。利用本文的方法對決策單元進行效率評價，可以得到穩健可靠的排序結果。

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