初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的途徑研究

錢(qián)紅娟

[摘 要] 猜想對(duì)數(shù)學(xué)理論的建立和發(fā)展有著重要的作用，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合現(xiàn)代教育理論，積極聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，探索并實(shí)踐培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的有效途徑，從而提升數(shù)學(xué)課堂效率.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；猜想；基本途徑

猜想能夠?yàn)榭茖W(xué)認(rèn)知的發(fā)展提供強(qiáng)大的推動(dòng)作用，愛(ài)因斯坦就曾經(jīng)指出：相比于知識(shí)，想象力的重要性更大，因?yàn)橹R(shí)畢竟是有限的，但是想象力卻能對(duì)整個(gè)世界進(jìn)行概括，推動(dòng)人們認(rèn)識(shí)的進(jìn)步，是認(rèn)知發(fā)展的動(dòng)力源泉. 初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該具有現(xiàn)實(shí)性和挑戰(zhàn)性，要有助于學(xué)生主動(dòng)參與實(shí)驗(yàn)觀察、質(zhì)疑猜想、驗(yàn)證推理等數(shù)學(xué)探究活動(dòng). 主動(dòng)探索、參與實(shí)踐以及合作交流應(yīng)該成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要方式，所以教師要關(guān)注學(xué)生進(jìn)行科學(xué)猜想和創(chuàng)造的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)研究過(guò)程中的直覺(jué)思維和獨(dú)創(chuàng)意識(shí).

猜想與數(shù)學(xué)的關(guān)系

數(shù)學(xué)研究思想和研究方法有一個(gè)龐大的理論體系，其中較常使用的歸納類(lèi)比與合情推理都與猜想有著密不可分的關(guān)系. 眾所周知，數(shù)學(xué)思維強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)論證推理的基本操作和探究習(xí)慣，同時(shí)必須積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理. 換言之，初中數(shù)學(xué)不僅要強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生學(xué)習(xí)證明法，也要讓學(xué)生掌握猜想法.

1. 猜想是數(shù)學(xué)思維的“先知先覺(jué)”

作為學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的一種“先知先覺(jué)”，猜想機(jī)制是對(duì)具有形式化、多樣化、抽象化等特征的數(shù)學(xué)信息所進(jìn)行的一種思辨認(rèn)知活動(dòng)，科學(xué)性和預(yù)測(cè)性是它的重要標(biāo)志. 自然規(guī)律的探索之所以如此復(fù)雜，其關(guān)鍵就在于受到多種因素的共同影響，而猜想有助于人們借助靈光一現(xiàn)的靈感，穿透認(rèn)知的迷霧，成功誘發(fā)人們發(fā)現(xiàn)，從而推動(dòng)人們理性思維的進(jìn)一步飛躍與升華，讓學(xué)生找到解決問(wèn)題的方案.

2. 猜想是數(shù)學(xué)能力的發(fā)展動(dòng)力

作為數(shù)學(xué)思維機(jī)制中最為活躍、最為積極、最為靈活的因素之一，數(shù)學(xué)猜想一旦得以證實(shí)，那就直接對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)問(wèn)題突破口的發(fā)現(xiàn)，同時(shí)也對(duì)應(yīng)著理想化為現(xiàn)實(shí). 假設(shè)成為定理的過(guò)程，也將成為人們數(shù)學(xué)認(rèn)知體系中的重要組成部分，它有效促成了數(shù)學(xué)理論的完善，也推動(dòng)了研究方法的進(jìn)步和發(fā)展.

初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的基本途徑

初中數(shù)學(xué)研究中的科學(xué)猜想有別于生活中的胡思亂想，它屬于一種高階的思維方式，而且和學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)以及其他理性思維能力緊密結(jié)合在一起. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要善于創(chuàng)造機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生積極開(kāi)展猜想訓(xùn)練，以此提升他們相應(yīng)的能力.

1. 在知識(shí)遷移中培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比猜想

所謂類(lèi)比猜想，就是采用類(lèi)比的方法，對(duì)兩個(gè)問(wèn)題或?qū)ο蟮南嗨菩赃M(jìn)行比較，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移運(yùn)用，形成新方法或建構(gòu)新知識(shí)的猜想. 這里的“新”主要針對(duì)的是學(xué)生的思維過(guò)程，這也是一種獨(dú)創(chuàng)意識(shí)的體現(xiàn)，此種途徑往往用在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié).

例如，引導(dǎo)學(xué)生研究相似三角形的判定定理時(shí)，教師可先讓學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法進(jìn)行回顧，然后由學(xué)生對(duì)相似三角形和全等三角形的相似性進(jìn)行比較，從而引發(fā)類(lèi)比猜想：怎樣來(lái)判定兩個(gè)三角形相似呢？學(xué)生從處理全等三角形的思路出發(fā)，通過(guò)知識(shí)的遷移展開(kāi)猜想：兩條邊對(duì)應(yīng)成比例并且?jiàn)A角相等（類(lèi)比于全等三角形的判定定理SAS）、三條邊對(duì)應(yīng)成比例（類(lèi)比于全等三角形的判定定理SSS）、兩個(gè)角相等且?jiàn)A邊成比例（類(lèi)比于全等三角形的判定定理ASA）、兩個(gè)角相等且其中某角的對(duì)邊成比例（類(lèi)比于全等三角形的判定定理AAS），由此猜想出四條相似三角形的判定定理. 猜想一經(jīng)提出，學(xué)生就開(kāi)始進(jìn)行爭(zhēng)論，有人指出：ASA和AAS都不可能成立，一條對(duì)應(yīng)邊與誰(shuí)成比例？學(xué)生進(jìn)一步思考，對(duì)猜想進(jìn)行了修正：是否可以簡(jiǎn)化上述猜想，即兩個(gè)角相等，就可以確認(rèn)三角形相似？無(wú)論學(xué)生的猜想最終能否被證實(shí)，這些都是難能可貴的探究過(guò)程，因?yàn)樗鼈兪菍W(xué)生采用類(lèi)比思維向未知領(lǐng)域邁出的第一步.

從上述例子中我們可以發(fā)現(xiàn)，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)采用類(lèi)比來(lái)誘發(fā)學(xué)生猜想，不僅能夠有效激活學(xué)生的思維，而且容易讓學(xué)生的思維保持亢奮狀態(tài)，這有助于學(xué)生通過(guò)猜想來(lái)概覽知識(shí)的輪廓，能讓學(xué)生從整體的層面了解即將探究的問(wèn)題.

2. 在歸納思維中培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)猜想

歸納是數(shù)學(xué)研究的重要方法，人們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由具體的對(duì)象出發(fā)，從一定的個(gè)體或特例開(kāi)始研究和分析，最終形成一種有關(guān)普遍性的原理和結(jié)論的猜想，這就是歸納思維中的猜想活動(dòng). 此類(lèi)方法往往運(yùn)用于對(duì)新知識(shí)、新規(guī)律的探索.

例如，七年級(jí)學(xué)生在探索“多邊形內(nèi)角和的規(guī)律”時(shí)，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究：首先，讓學(xué)生自己畫(huà)出若干種不同類(lèi)型的多邊形——三角形、四邊形、五邊形等，由學(xué)生確定邊的數(shù)目，再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行觀察，并逐個(gè)確定多邊形的內(nèi)角和，學(xué)生對(duì)三角形早已有所認(rèn)識(shí)——內(nèi)角和為180°，然后他們?cè)诜治鲋邪l(fā)現(xiàn)四邊形是360°，而五邊形的內(nèi)角和又恰恰是540°，一組非常和諧的數(shù)列呈現(xiàn)在學(xué)生面前，他們開(kāi)始大膽猜想：六邊形的內(nèi)角和應(yīng)該是720°，七邊形應(yīng)該是900°，那么n邊形的內(nèi)角和就應(yīng)該是（n-2）×180°. 學(xué)生從大量的事實(shí)出發(fā)，數(shù)字之間特殊的關(guān)系激活了學(xué)生的歸納思維，最終形成猜想. 而這一猜想不僅僅是針對(duì)結(jié)論，更包括證明方法，很多學(xué)生又通過(guò)180°聯(lián)想到三角形：多邊形能否轉(zhuǎn)換為三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)猜想的驗(yàn)證呢？進(jìn)一步的思考和處理讓學(xué)生的思路豁然開(kāi)朗.

學(xué)生進(jìn)行猜想時(shí)需要一定的時(shí)間和空間，教師對(duì)課堂時(shí)間的分配應(yīng)該慷慨一點(diǎn)，讓學(xué)生能夠充分把握自己的思維節(jié)奏. 事實(shí)上，學(xué)生一旦獲得思維和討論的自由，他們的熱情就會(huì)無(wú)比高漲，他們會(huì)交流自己的設(shè)想和觀點(diǎn)，在彼此啟發(fā)中完善各自的猜想. 這顯然能比純粹的灌輸式教學(xué)產(chǎn)生更好的效果.

3. 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)猜想

在初中數(shù)學(xué)課堂中，實(shí)驗(yàn)教學(xué)也能為課堂注入無(wú)限的活力，會(huì)讓數(shù)學(xué)課堂不再是純理論化的說(shuō)教. 事實(shí)上，實(shí)驗(yàn)、猜想以及證明正是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決和理論發(fā)展的關(guān)鍵利器. 在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，諸如牛頓、傅立葉、亥姆霍茲等人都有物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家雙重身份，在研究中，他們正是對(duì)物理實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析的過(guò)程中需要用到大量的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法才大力推進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的進(jìn)步. 因此，我們的初中數(shù)學(xué)教學(xué)要善于采用實(shí)驗(yàn)來(lái)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，從而提升他們的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和相關(guān)能力.

例如，組織學(xué)生研究三角形的三邊關(guān)系時(shí)，教師可以讓學(xué)生先準(zhǔn)備好長(zhǎng)度分別為3厘米、4厘米和10厘米的三根小棒，然后由學(xué)生動(dòng)手操作：用自備的小棒構(gòu)建三角形. 學(xué)生屢試屢敗，這時(shí)教師再提出問(wèn)題：你們能否適當(dāng)調(diào)整小棒的長(zhǎng)度，然后拼成一個(gè)三角形？學(xué)生答道：要么將長(zhǎng)邊縮短，要么將短邊延長(zhǎng). 在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵(lì)學(xué)生形成猜想：三角形的兩邊之和大于第三邊. 當(dāng)學(xué)生形成猜想后，教師再要求學(xué)生自己對(duì)其進(jìn)行證明，由于學(xué)生親自通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，并由實(shí)驗(yàn)操作形成了猜想，所以他們的驗(yàn)證異常順利.

將實(shí)驗(yàn)操作和猜想融合在一起搭建數(shù)學(xué)課堂，既能促成學(xué)生融合多種感官參與到認(rèn)知探究中，也能讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)問(wèn)題的提出過(guò)程和知識(shí)的形成過(guò)程，能有效提升課堂效率，何樂(lè)而不為呢？

4. 通過(guò)創(chuàng)新意識(shí)的激發(fā)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的探索猜想

所謂探索猜想，就是人們采用嘗試探索的方法，依據(jù)自身的已有認(rèn)知與經(jīng)驗(yàn)，對(duì)新知識(shí)和問(wèn)題形成局部性或方向性的猜想. 這一過(guò)程需要研究者充分發(fā)揮創(chuàng)新意識(shí)，敢于突破傳統(tǒng)思維的藩籬，運(yùn)用科學(xué)的方法提出自己充滿(mǎn)建設(shè)性的猜想. 探索性是此類(lèi)猜想的基本特征，即研究者需要根據(jù)研究的不斷深入，及時(shí)而適當(dāng)?shù)貙?duì)猜想進(jìn)行修正，以便增強(qiáng)猜想的合理性和可靠性.

例如，學(xué)生在探索三角形的內(nèi)角和定理時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)折疊或剪拼的方式來(lái)尋找結(jié)論. 學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)：三角形的內(nèi)角和是180°，但是為什么有這樣的結(jié)論呢？有的學(xué)生猜想是平角，有的學(xué)生從兩條平行線(xiàn)截出的同旁?xún)?nèi)角進(jìn)行猜想，有的學(xué)生將180°聯(lián)系到直角的兩倍或周角的一半……究竟哪一個(gè)做法才是正確的呢？這時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地進(jìn)行探索和驗(yàn)證，進(jìn)而從多個(gè)角度證明定理.

學(xué)生在探索新知的過(guò)程中，會(huì)迸發(fā)出很多猜想，教師要給予學(xué)生充分的耐心和信任，讓學(xué)生積極驗(yàn)證，引導(dǎo)學(xué)生克服盲目猜想，實(shí)施合理猜想，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).

理性思維是數(shù)學(xué)理論不斷進(jìn)步的根基所在，而猜想則是這一過(guò)程的催化劑. 初中數(shù)學(xué)教師在課堂上有策略地培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)能力，能讓學(xué)生像科學(xué)家一樣經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證等一系列過(guò)程，并從中體驗(yàn)到創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)與成功.