例談垂直關(guān)系在幾何綜合題中的幾種運用

陳艷勝

幾何綜合題的思路獲取往往靠的是基本圖形、模型圖形的積累，應(yīng)用垂直關(guān)系進行計算、證明在中考試題中廣泛存在。近些年，一些省市中考的幾何壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)圖形變換中疊加垂直關(guān)系，求解時注意發(fā)現(xiàn)、構(gòu)造應(yīng)用一些垂直關(guān)系模型，往往能快速打開解題思路。因此，善于幫助學(xué)生歸納幾何的一些基本圖形、構(gòu)造相應(yīng)數(shù)學(xué)模型是降低學(xué)習(xí)難度、提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的一種重要手段。下面我們一起來探究有關(guān)這一類的問題，從中尋找解決這類問題的方法和規(guī)律。

模型一：一個直角的頂點在一條直線上，直角繞該頂點旋轉(zhuǎn)

示例1（2016龍巖第24題）如圖（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°將∠MPN繞點P從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交AB（或AD）于點E，PN交邊AD（或CD）于點F，當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，∠MPN的；旋轉(zhuǎn)隨即停止

（1）特殊情形：如圖（2），發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點A時，PN也恰好過點D，此時，△ABP △PCD（填：“≌”或“～”）

（2）類比探究：如圖（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

（3）拓展延伸：設(shè)AE=t，△EPF面積為S，試確定S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)S=4.2時，求所對應(yīng)的t的值。

分析：這道題可分解出的基本圖形是：Rt∠MPN繞在一條直線BC上的頂點P旋轉(zhuǎn)，在這種兩直角邊在直線BC同側(cè)的模型圖中始終存在∠BPE+∠CPN=90°。利用這一關(guān)系來得到兩個三角形的全等或相似，從而解決問題。

處理辦法：

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出∠B=∠C

=90°，再通過角的計算得出∠BAP=∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；

（2）過點F作FH⊥PC于點H，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及角的計算找出∠B=∠FHP=90°、∠BEP=∠HPE，由此即可得出△BEP∽△HPE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，找出邊與邊之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；

（3）分點E在AB和AD上兩種情況考慮，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)找出各邊的長度，再利用分割圖形求面積法找出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，令S=4.2求出t值，此題得解.

模型二：兩個直角頂點重合，把其中一個直角繞頂點旋轉(zhuǎn)

示例2（2016漳州第25題）現(xiàn)有正方形ABCD和一個以O(shè)為直角頂點的三角板，移動三角板，使三角板的兩直角邊所在直線分別與直線BC，CD交于點M，N。

（1）如圖1，若點O與點A重合，則OM與ON的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）如圖2，若點O在正方形的中心（即兩對角線的交點），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；

（3）如圖3，若點O在正方形的內(nèi)部（含邊界），當(dāng)OM=ON時，請?zhí)骄奎cO在移動過程中可形成什么圖形？

（4）如圖4是點O在正方形外部的一種情況。當(dāng)OM=ON時，請你就“點O的位置在各種情況下（含外部）移動所形成的圖形”提出一個正確的結(jié)論。（不必說理）

分析：這道題圖1可分解出的基本圖形是：Rt∠MON繞Rt∠BAD旋轉(zhuǎn)，其中頂點O與A重合，在這種模型圖中始終存在∠BAM=∠DAN。利用這一關(guān)系來得到兩個三角形的全等或相似，從而解決問題。

處理辦法：（1）再利用正方形的性質(zhì)得出：AB=AD，∠ABM=∠ADN=90°，從而△ABM≌△ADN，得出OM=ON；

（2）對于第（2）（3）（4）小題都可以過點O分別作BC、CD的垂線，從而構(gòu)造出圖1模型，利用第（1）小題的方法來解題。

模型三：兩個直角相對，兩直角邊分別相交

對上面示例2的圖形（1）（2），如下圖，還可以看成Rt∠MON與Rt∠BCD兩直角邊分別相交于點M、點N。這類模型可看成Rt∠MON與Rt∠BCD是以線段MN為直徑的圓的圓周角，即O、M、C、N四點共圓，從而畫以線段MN為直徑的輔助圓，則∠OCM=∠ANM=∠OCN=∠OMN=45°，所以弦OM與弦ON相等；

對于第（2）（3）小題同樣得出O、M、C、N四點共圓，從而逆向思維：從弦OM與弦ON相等得到弧OM與弧ON相等，所以它們所對的∠OCM=∠OCN=45°，最后確定點O在直線AC上移動。

模型四：一個直角與一個銳角的頂點重合，把銳角繞頂點在直角內(nèi)旋轉(zhuǎn)

示例3 已知：△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠A與∠D分別為直角，把點E與點A重合，讓∠E在∠A內(nèi)部再將△DEF繞點A旋轉(zhuǎn)一定角度后，邊DE與邊EF截△ABC斜邊BC，交點分別為M、N，截得三條線段BM、MN、CN，探索MN 2 與BM2 、CN 2有什么關(guān)系？

分析：這道題可分解出的基本圖形是：∠BAM+∠CAN=45°。利用這一關(guān)系來得到兩個三角形的全等或相似，從而解決問題。

處理辦法：把△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ACP，使AB與AC重合，連接PN，則∠ACN+∠ACP=∠ACN +∠B=45°+45°=90°，重新構(gòu)造Rt△CPN，其中CP=BM、PN=MN，此時利用勾股定理得：MN 2 =BM2 +CN 2

因此，在平時的解題過程中，善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)某些特殊的模型，再應(yīng)用這種模型來解決類似的問題，往往會給我們帶來事半功倍的效果；也是教師提高課堂教學(xué)效率，優(yōu)化學(xué)生解題策略的一種有效手段；更是樹立學(xué)生對中考幾何綜合題破解信心的一種重要方法。