X2+1和梅森素數

段貴軍

一、X2+1素數

1.X2+1素數概念

在X2+1數中，當X為偶數（1是唯一特例）時，例如：12+1=2； 22+1=5； 42+1=17；……中的2、5、17、……皆為素數，這種素數是否有無窮個？此為X2+1素數猜想。

2是偶數中唯一素數，故本文只討論求解X為偶數時的X2+1素數個數問題。

X÷2為X2+1奇數個數，也是項數，用N表示。

2.X2+1奇數因子

因所有奇數除以4均余1和3，故奇數可表示為y=4a+1和y=4a+3兩種形式（a為0、1、2……整數），并各占奇數集合總量的1/2。據題意，可做如下假設。

假設①：X2+1=4a+1（4a+1為奇質數）。X2=4a+1-1=4a，得出a= X2÷4，當X為偶數時，設X=2k，a=（2k） 2÷4= k2，本式成立。

假設②：X2+1為合數，則X2+1=（4b+1）（4c+1）=16bc+4b+4c+1=4（4bc+b+c）+1（其中4b+1和4c+1均為奇質數）。設4bc+b+c=k，則原式等于4k+1，此與4a+1是同一種數，同理可證，X2+1=（4b+1）（4c+1）……（4n+1）。

假設③：X2+1=4a+3（4a+3是奇質數）。則a=（X2-2）÷4= X2÷4-2÷4。設X=2k，則原式等于4k2÷4-2÷4= k2-1÷2。因k2是整數，則a無整數解。故本式不成立。

綜上，X2+1奇數要么為4a+1類型奇質數；否則為由1至n個4a+1式奇質數相乘積的合數，是4a+1奇數集合的一部分。

3.X2+1奇數因子的分離排除周期規律計算

X2+1奇數數列符合自然數素數分布與個數計算公式原理。

X2+1值差：指X12+1 到X22+1之間的變化差值，設X2= X1+c（c為偶數），即（X22+1）-（X12+1）= X22 -X12 = c（2 X1+c）。

分離排除周期計算：設奇質數因子4a+1=m，因（X22+1）-（X12+1）= c（2 X1+c），根據自然數素數分布規律和個數計算公式，當c÷m=g和（2 X1+c）÷m=f（g和f均是整除最小整數）時就可以求出奇質數因子分離排除周期。

①完整分離排除周期（c÷m=g整除）：因c為偶數，m為奇質數，所以，g必為偶數，則g的最小值是g=c÷m=2時為一個奇質數m的一個完整分離排除周期，2m為從X1 到X2的值差。例如X1 =8，m=5時， X1 到X2 之間的差為c=2m=2×5=10，即X2 -X1=18-8=10，則奇質數m=5的分離排除周期內的奇數項數為5個，意為每五項有一項被分離排除掉。即X1 =8，此后是10、12、14、16，此為一個完整分離排除周期，自18開始則進入下一個分離排除周期。

②周期內分離排除 （2 X1 +c）÷m=f（f為最小整數）：因2 X1 和c都為偶數，m為奇質數，故f也必是偶數。因X1 和m皆已知，因此決定能否整除的因素是c值變化，如當X1 =8，m=5時，只要c=4時，f=4是整除最小整數。即c+ X1=4+8=12，即在上面8、10、12、14、16中的12處也可以分離排除，因8<12<16，所以，也可稱作是周期內排除。

據以上計算可知，在同一周期（五項）內分離排除兩次。

設X2+1奇數為N個，則經過奇質數因子m=5分離排除掉N×（2÷5）個，剩余N×（5-2）÷5=N×3÷5個；其它奇質數因子也同理計算。

4.X2+1 素數個數計算公式

把4a+1奇質數分離排除因子從小到大依序進行分離排除，稱為優先分離排除法，如5、13、17、……

設M和N為X2+1 奇質數總個數和奇數總個數，據自然數素數個數計算公式原理得：M=N×3/5×15/17×……1155/1157……×（k-2）÷k+t（k為X2+1奇質數，也包括非X2+1形式的4a+1奇質數形成的合數，如1157=13×89，k≤X2+1；t為因分離排除而減少的X2+1奇質數，N=X÷2）。

當N和k→∞時， M=N×3/5×7/9×11/13×……×[（k-2）÷k]（k≤X2+1），M極緩慢遞增，在相同區間范圍內，N×3/5×15/17×……1155/1157……×（k-2）÷k（k≤X2+1）>N×3/5×7/9×……×（k-2）÷k（k≤X2+1），雖然分離排除因子越來越多，使X2+1 奇質數會變得越來越稀，分布密度卻趨向于恒定變化，但會永遠不斷出現，所以，X2+1 奇質數總個數必緩慢遞增→∞個。

二、梅森素數

1.梅森素數概念

梅森數指2n-1（n≥2）形式的數，其中的素數稱為梅森素數。

2.2n-1奇數因子計算

由（2n-1）÷4=（2n-4+4-1）÷4=（2n-4）÷4+3÷4看出，（2n-1）÷4均余3，即2n-1奇數集合是y=4a+3奇數集合的重要組成部分。

據自然數素數分布規律及以上X2+1素數計算過程，易得以下結論。

2n-1奇數（梅森數）要么是y=4a+3式奇質數；其余為y=4a+3式合數。其合數分為兩種：一種是由奇數個y=4a+3奇質數相乘積形式的合數（因為偶數個y=4a+3式奇質數相乘積仍是y=4a+1式奇數形式）；另一種是由y=4a+3與y=4a+1兩種形式的奇質數相乘積的形式（因為這兩種形式的奇質數相乘積仍是y=4a+3式奇數，但y=4a+3奇質數為奇數個）。雖然其中含有m個y=4a+1奇質數，但這種數不參加分離排除，只起輔助作用，此由y=4a+3奇質數的性質所決定。

三、2n-1（梅森數）奇數的奇質數分離排除周期規律

2n-1奇數由A1到A2的差值，設A1=2n-1，A2=2m-1，其中m=n+c，則差值ΔA=A2-A1=（2m-1）-（2n-1）=2n（2c-1）。

設y為某4a+3奇數，則ΔA÷y=2n（2c-1）÷y，以此計算式可求得奇質數的分離排除周期。式中2n是1至n個2相乘積的偶數不可能整除任意奇數。若能整除只能是（2c-1）÷y=g可進行整除，g為奇數，且g為最小整數時是奇質數的分離排除基本周期。而最小g值是（2c-1）÷y=g=1，即2c-1=y，所以，其中的c代表該y值的分離排除周期數，而y= 4a+3是奇質數或奇數合數。故而，梅森素數的分離排除過程是在項數（冪序列）上進行的，和自然數素數分布規律及計算方式相同，而不用在2c-1奇數數列中進行。

根據計算結果可知：當n=1時，21-1=1不計；當n=2時，22-1=3，即當n為偶數時的唯一素數，此后的2j（j為≥2的整數）項數如第4、6、8……項皆為合數，因子中必含有3這個因子；當n=3時，23-1=7，即當n為3j（j為≥2的整數）項數如第6、9、12……項皆為合數，因子中必含有7這個因子……如此可知當n為素數時才可能是梅森素數，n為合數或偶數時不可能為梅森素數。

四、2n-1素數（梅森數）計算公式

設M和n為2n-1的奇質數總個數和奇數總個數，k為1到n范圍內最大奇質數因子。據自然數合數因子分布規律原理和自然數素數個數計算公式原理，可得如下梅森素數個數計算公式：M=n×（1÷2）×（2÷3）×……×[（k-1）/ k]+w個，其中k≤n，w為因奇質數在分離排除過程中減少的梅森素數個數。又因為n×（1÷2）×（2÷3）×（3÷4）×……×（k-1）/ k=n×1/ k=1，當n→∞時，而M=n×（1÷2）×（2÷3）×（4÷5）×（6÷7）×（10÷11）……×（k-1）/ k+w越來越大于n×1/ k，故，梅森素數有無窮個。

2n-1數是kn-1數中特例，2n-1（n為奇數）數中含有眾多素數，其它kn-1數（k≥3）時只能有1個或沒有素數。

以上兩個問題的計算結果不可避免會出現誤差，但其原理沒有問題，所計算代表的素數個數變化趨勢是正確的，就足矣。