數學思維在解題過程中的培養

林勇兵

【摘要】心理學家認為：培養學生的數學思維品質是培養和發展數學能力的突破口。幾年的教學實踐使我認識到思維能力的培養在數學教學中非常重要，一個學生是否具有良好的思維能力，是運用數學知識分析和解決問題的關鍵。

【關鍵詞】數學思維；思考；靈活

心理學家認為，培養學生的數學思維品質是培養和發展數學能力的突破口。在學生學會知識的過程中也要學會思考，學會思考的重要性不亞于學會知識，它將使學生終身受益。數學是思維的體操，學生思維的發展是我們數學課堂教學的靈魂，教數學一定要教思維。 但是不能空洞地、形式地教思維，而要以數學知識為載體教思維，學數學也一定要學思維，學生學會了“數學方式”的理性思維，將受用無窮。

幾年的教學，我發現學生的思維缺乏靈活性，解題方法比較單一，欠缺思維遷移能力，解題過程缺少舉一反三的能力，思維比較狹窄，因此在平時的教學中，我也比較注重學生思維的培養。鍛煉他們思維的廣闊性，下面就我在培養學生數學思維方面的幾點感悟作個初步探討：

一、啟迪學生多角度、多途徑解題，做到思維起點靈活

在平時的解題過程中，學生對相似的問題往往會用固定的方法去解，這不是一種好現象，會給學生造成解題思維窄，不思考的問題，導致學生分析題目時走不出思維的沼澤區。因此，教師在教學時可從多角度、多方面進行分析，促使學生朝多思維的方向發展，逐步培養學生的思維能力。

我在教學八年級上冊時碰到這樣一題：

如圖，已知AB//CD，猜想∠ABE，∠BED，∠EDC三者間的數量關系。

學生初看此題無從下手，條件只有一個，就是兩直線平行，結論是什么？那我們如何啟發學生呢？

我們可以引導學生看已知條件，

師：題目已知什么？

生：AB//CD

師：從已知條件——平行，你能聯想到什么呢？

生：同位角、內錯角相等，同旁內角互補。

師：那這里有這些嗎？

生：沒有。

師：那我們怎么辦呢？可以構造嗎？

這樣自然而然可以把學生調動起來了，思維也一下子活躍起來了。

一生：我們可以添加平行線。

師：不錯。

接下來是啟發學生如何添加平行線了。

有生說：

思路一：如圖1，過點E作AB的平行線EF，將∠BED看作∠BEF與∠DEF的和，一生上臺板演。

師：除了這種方法，還有其他的方法嗎？

思路二：如圖2，可以過點D作BE的平行線，那么∠EDC可以看作∠EDF與∠DFB的和。生上臺板演。

師：還有嗎？

生：連接BD。

思路三：如圖3，連接BD，學生一看明白了，∠ABD和∠CDE分別被分成了兩個角，而且還用到了三角形的內角和定理，生上臺板演。

這時學生的思路紛紛打開了。

師再說，還有其他的方法嗎？大家也可以討論一下。

師：可以延長嗎？

生：延長CD和BE，生板演。

師：你們認為這些方法哪種方法簡單，易懂？

生：都差不多。

小結：其實我們回過頭來看這些思路，這道題歸根結底就是利用了平行線的性質。

通過這道題的解答，使學生思維起點靈活多了。我們教師在教學過程中有時不應輕易地否定某一種方法，應因勢利導，讓學生在討論和對比中自己去認識不同方法的優劣。同時，也體驗了解決問題方法的多樣。

再如，我們可以將這題變一變。

變式一：將點E移到圖乙的位置，但仍保持AB//CD， 那么∠B，∠D，∠BED之間也有這樣的關系嗎？如沒有，那它們有什么關系呢？

像這樣一個好問題的一題多解勝過多題一解，既能使學生鞏固知識，活用知識，激發興趣，而且還能培養學生思維能力和創造能力。像中考中的一些考題，大多數是課本練習題的變式或組合，變換問題的條件或結論、轉換問題的形式內容，但無論怎么變，問題的本質始終不變。

二、要求學生克服思維定式，及時調整策略，使思維過程嚴密

對于一道比較熟悉的題目，學生會用已有的解題思路去思考問題，不管題目所涉及的條件是否改變，他都會一如既往的按原先思考的思路去分析，這樣的結果往往使學生形成一種思維定式，題目稍有變化，解題就會出現問題。對于這種情況，我們應該引導學生跳出定勢，調整解題策略，從不同的角度去分析問題，有助于學生樹立正確的解題方法。

例：如果關于x的方程（ m-2）x2-2x+1=0有解，那么m的取值范圍是（ ）

A. m<3 B. m≤3

C. m<3且m≠2 D. m≤3且m≠2

一看此題，學生直觀感覺就是利用根的判別式去求出m，馬上求出選B。

師：還有同學有不同意見的嗎？

生：還要求m-2≠0，所以選D。

師：一個比一個考慮周到，都很不錯。

師：還有同學有不同意見的嗎？

學生有些茫然。

師：根的判別式適合于一元二次方程，請同學們再讀題目。

師：有什么新的發現嗎？

生：這沒說是一元二次方程，有可能是一元一次，要分類討論。

這一問，學生恍然大悟，這樣能使學生及時地調整策略，使解題思路及時得到糾正.

三、要求學生學會總結，朝思維的正遷移靈活地學習

在平時學習中，解決相似問題就是學會在已知的數學關系中找到新的數學關系，促使學生學會掌握解決問題的方法.在解決過程當中，學生可能在思考問題中會有所偏差，這是不利于解決問題的。因此，我們可以采取多樣的解決方法，譬如可以發揮遷移學習的優勢，在學習小組中，讓學生出聲思維，集體討論，不討論怎樣解題，而討論怎樣去思考，并由小組同伴及時點撥，使思維得到很好的訓練，努力提高解決問題的能力。

例：解方程組

學生剛接觸此題，不知怎么辦才好，無頭絮，那我們可以提問，

師：對于這題，你哪些是熟悉的，哪些是陌生的？

生：熟悉的——這是方程，有兩個方程，含有兩個未知數；不熟悉的——含有兩個求和數的方程不知如何解？

師：如果轉變成一個方程，一個未知數，你會不會解？

生：會。

師：那我們如何去掉一個未知數，轉化為一元一次方程呢？

可以讓學生分組交流，通過學生分組交流會讓學生得到很多解決問題的方法。

如有些學生說把兩個方程相加，那我們看看，兩個方程相加，可以得到一個方程，但還是有兩個未知數，你會嗎？接下去有些學生反應，那把兩個方程相減，哎，不錯，一個方程，同時也少了一個未知數了，行了，哈哈。

我們再回過頭來看看這道題的解決方法，其實這就是我們數學中的消元思想，這是利用消元思想來解方程組。

譬如，我們可以將這種方法應用到解三元一次方程組中，這時我們無須花多大的功夫，自然會靈活地運用了。

四、啟發學生挖掘隱含條件，抓住問題的實質，靈活地轉化并解決問題

在學生解題過程中，一些條件往往被巧妙地隱藏在題設的背后，學生往往發現不了這個隱含條件，給解題帶來很大的困難。因此，如何啟發學生找隱含條件是關鍵。首先要求學生學會仔細分析題意，盡可能挖掘題意所涉及的條件。

例：化簡

一學生板演：原式=

師：為什么不把絕對值去掉。

生：不知道x的取值范圍，無法去掉。

師：題目其實已經告訴你了，你仔細找找。

另一生：有，因為有意義，所以x-3>=0。

這樣問題就得以解決了，像這樣挖掘隱含條件的過程，往往是尋求解題思路的過程，隱含條件一旦暴露，便為解題提供了新的信息和依據，因而我們可以從挖掘隱含條件入手，尋求解題的突破口，打開解題之門。

例如，當x= 時，分式的值為0。

像拿到這樣一題，看到分式的值為0，馬上想到分子等于0，從而得到x=5或x=-5。結果快速地出來了，那這個結果正確嗎？學生把結果代到分母中試試，發現x=5不行，所以當x=-5時，分式的值為0。

解得結果后把結果代入原題目中，檢驗解答過程是否適當。

再如，已知關于x的方程x-7=k+1與4k-x=1-2x有相同的解，就k的值。

師：你對這題是如何理解的？你認為這道題解題的關鍵在哪里？

生：相同的解。

師：那你是怎么理解相同的解呢？

生：就是x的值相同。

師：對了，那x的值怎么樣去解呢？

接下去讓學生小組交流解決此題。

數學學習中要使學生的思維活躍，就要教會學生分析問題的基本方法，這樣才有利于培養學生的正確思維方式。通過一題多解（證）的訓練和隱含條件的挖掘，提高發散思維能力等，還得要學生善于思考，必須重視基礎知識和基本技能的學習，沒有扎實的雙基，思維能力是得不到提高的。

以上幾點是本人在教學過程中對數學思維能力培養的點滴體會，當然數學思維的培養方式遠不止這些，在日常教學過程中，還會出現新的問題，那就要求學生用新的思維方法去解決新的問題。數學思維的培養是一個不斷探索，不斷學習的過程。

【參考文獻】

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[2]波利亞.怎么解題：數學思維的新方法[M].上海科技教育出版社.

[3]家燕.中學數學思維訓練[M].杭州出版社.