“不確定情境”在數學教學中的應用

朱建明

摘 要數學“不確定情境”作為一種特殊的教學情境，有助于促進學生充分參與數學學習進程。設計“不確定情境”不僅可以凸顯教學內容中的關鍵要素，也可以通過數學變式促進學生理解數學知識，還能在數學知識的延伸拓展中揭示本質規律，彰顯各種模型的不同特質。

不確定情境 數學教學 探究性學習

新課程強調數學教學應基于學生的實際，創設有助于學生自主學習的問題情境，促使學生積極主動、富有個性地學習，不斷提高其分析問題和解決問題的能力。因此，為了促進學生深度參與數學學習的過程，恰當設置問題情境成了數學教學的重要組成部分，而因數學“不確定情境”與學生的數學學習過程聯系緊密，蘊含豐富的數學方法和策略，思維價值高，深受廣大師生的喜愛。

數學“不確定情境”就是以包含不確定因素的問題出發，通過教師引導學生分析推理等過程，尋求這些問題的確定性的解決策略，幫助學生獲得知識、掌握技能、學會方法。數學“不確定情境”能使學生在辨識中思考，在思考中領悟。下面以江蘇科技出版社出版的初中數學教材《義務教育課程標準教科書·數學》中的學習內容為例，談談數學“不確定情境”的設計與思考。

一、在不確定中提煉關鍵要素

創設“不確定情境”，可以引導學生在知識發生階段，針對情境中的“不確定”成分，探究相關知識的附著點，概括提煉出關鍵性要素，從而引導學生循著知識產生的脈絡去準確把握和理解學習內容。

案例1 6.4 探索三角形相似的條件（第2課時）（九年級下冊）

上課開始后，教師提出問題：

（1）如圖1，在正方形方格陣中，△ABC的頂點A、B、C在格點上。請在圖中再畫一個頂點都在格點上的△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC，并說明理由；

（2）對于△ABC與△A1B1C1，最少需要具備幾個條件，便可以判定它們相似？

本例中，“不確定”體現在幾個方面，一是問題（1）中△A1B1C1構圖的位置、大小均不確定，需要學生自主擬定；二是判定兩個三角形相似，三個角分別相等、三條邊分別成比例這六個條件，最多可以減少幾個？當然這個過程中，可以類比三角形全等的判定條件。通過這個“不確定情境”，參照圖2，可以引導學生提煉出多個判定兩個三角形相似的關鍵要素，能有效幫助學生認識學習內容的可能性和必要性。

二、在不確定中增進意義理解

為了幫助學生理解掌握知識內涵，在數學概念、法則和方法的教學中，可以借助相關問題的變式設計“不確定情境”，通過學生的辨析討論，從不同側面去增進知識和方法的意義理解。

案例2 4.2 等可能條件下的概率（一）（第2課時）（九年級上冊）

本節課例3之后，教師提出問題：

如圖3，一張圓桌旁有四個座位，甲、乙、丙、丁四人隨機坐到這四個座位上，求甲與丙不相鄰而坐的概率。

本例中研究的“不確定”因素首先是甲究竟坐在四個座位中的哪一個？甲的位置定了以后，又要研究乙、丙、丁三人按怎樣的次序落座？由于本節課主要是學習用樹狀圖的方法計算等可能條件下一些隨機事件發生的概率，因此，本題如何用枚舉法刻畫所有等可能出現的結果成了關鍵。實際上，本例使用的枚舉法是畫樹狀圖法的一個變式，可以先定甲的座位，然后直接如圖4枚舉就可以了，本例能幫助學生進一步理解枚舉法的作用和價值。

三、在不確定中揭示本質規律

在知識應用時設計“不確定情境”，可以將教學內容適度地拓展延伸，提高知識內容的綜合性，突出數學的應用價值，引導學生綜合運用所學知識探究問題、揭示本質規律、感悟數學思想方法，有效提高學生的數學思維品質。

案例3 9.5多項式的因式分解（第4課時）（七年級下冊）

在本課“思維拓展”階段，教師提出問題：

（1）如圖5，能否用1張A型紙片、1張B型紙片、2張C型紙片拼出一個正方形？并用多項式的積表示a2+2ab+b2。

（2）如圖5，能否用1張A型紙片、2張B型紙片、3張C型紙片拼出一個長方形？并用多項式的積表示a2+3ab+2b2。

（3）如圖5，能否用紙片拼出一個長方形，并將下列多項式因式分解？

①a2+4ab+3b2 ②a2+6ab+5b2；

③a2+10ab+9b2 ④a2+100ab+99b2

本例中的“不確定”首先體現在操作實驗的不確定：能否用圖5中的紙片拼出一個長方形或正方形。其次對多項式a2+100ab+99b2而言，要拼出與此相關的長方形顯然太繁瑣，那么必須在拼出與前幾個多項式相關的長方形的基礎上，在不斷的操作嘗試過程中，歸納揭示出多項式系數與三種特定的紙片的數量存在的依存關系，進而利用這一拼圖規律，理解一類多項式因式分解與特定圖形之間的聯系，最后將這些蘊含在不確定中的規律挖掘出來。本例不僅為學生理解這一類多項式的因式分解提供了直觀印證，也為學生運用圖形去思考因式分解問題，為他們進一步理解數學、探究數學提供了操作范式。

案例4 5.2平面直角坐標系（第2課時）（八年級上冊）

在本課“思維拓展”階段，教師提出問題：

如果將點M繞定點P旋轉180°后與點N重合，那么稱點M與點N關于點P對稱，定點P叫做對稱中心。此時，點P是線段MN的中點。在直角坐標系中，△ABO的頂點A、B、O的坐標分別為（1，0）、（0，1）、（0，0）。點列C1，C2，C3，……中的相鄰兩點都關于△ABO的一個頂點對稱。

點C1與點C2關于點A對稱，點C2與點C3關于點B對稱，點C3與點C4關于點O對稱，點C4與點C5關于點A對稱，點C5與點C6關于點B對稱，點C6與點C7關于點O對稱……，對稱中心分別是A，B，O，A，B，O……，且這些對稱中心依次循環。已知C1的坐標是（1，1），試求出點C2、C8、C300的坐標.

本例的主要內容是用點的坐標描述圖形變換運動后的位置，探索運動后的圖形與原來圖形的對應點坐標的關系。它體現的不確定因素有兩個：一是點的對稱，這與軸對稱變換有差異；二是寫出C300的坐標，顯然這不能從C1、C2、C3的坐標逐個往下寫，必須要找出這個不確定中的某種變化規律。而設置“求出點C8的坐標”，就是要通過學生經歷描點的過程，找出點列周期性變化規律。利用周期性循環問題編制與教學內容契合的“不確定情境”，往往新穎別致，有較高的思維價值，是培養學生探究能力、合情推理能力的有效載體。

四、在不確定中強化模型特質

在課堂小結中設置數學“不確定情境”，可以通過學生面對一些問題的“不確定”成分進行分析思考，使他們對所學知識和方法進行歸納和梳理，引導學生作進一步的回顧反思，確定相關知識之間的差異，凸顯特定知識的特質，以便查漏補缺、完善認識。

案例5 5.3用待定系數法確定二次函數關系式（九年級下冊）

在本課的課堂小結中，教師提出問題：

已知點P（，8）和Q（2，2）兩點，試寫出兩個不同的函數，使它們的圖象都經過P、Q兩點。

本例是一個數學開放性問題，開放性問題的顯著特點在于某些要素的不確定性，它的條件、解題策略、結論常?？梢栽趩栴}情境中自行設定和尋找，因此需要學生自主探索思考，創造性地將不確定的問題轉化為幾個確定性問題。本例作為課堂小結中使用的問題，不僅能使學生進一步掌握用待定系數法確定二次函數關系式，而且能使學生在同一個問題中學會選用不同模型，這里實際上寫出的函數還可以是反比例函數、一次函數，因此本例凸顯了不同函數的模型特質，可以幫助全面總結初中數學的各種函數知識。

案例6 12.3二次根式的加減（八年級下冊）

在本課課堂小結階段，提出問題：

（1）說出兩個含有二次根式的式子，使它們的和、積都不含有二次根式；

（2）說出兩個含有二次根式的式子，使它們的和仍含有二次根式，它們的積不含有二次根式。

本例也是一個數學開放性問題，“不確定情境”聚焦于二次根式中互為有理化因式這一模型，可以引導學生將這一類二次根式的運算進行系統梳理，并形成整體性認識，對提高學生的二次根式運算技能也會有所幫助。

總之，在數學教學中的不同時段設置“不確定情境”，能產生不同的教學效果。經常性設置“不確定情境”，還能幫助學生錘煉克服困難的信心和勇氣，發展解決問題的策略，對提高數學教學的效能、打造高效課堂具有重要意義。

【責任編輯 郭振玲】