圓錐曲線性質在高考解題中的運用

駱弟懷

摘 要：圓錐曲線是高中數學教學的重要內容，也是高考中必考的重點和難點，教師要在學生熟練掌握圓錐曲線定義和性質的基礎上，引導學生將其運用到解題過程中，進而解決數學問題，提高學生的數學應用能力，促進學生思維的發展。就圓錐曲線在高考解題中的應用做簡單分析和探討。

關鍵詞：高中數學；圓錐曲線；性質；運用

近年來，以圓錐曲線的性質為基礎來命題的高考題目已經十分常見。因此，讓學生熟練掌握圓錐曲線的性質和定義，并能在解題當中進行有效利用是當前數學教師的重要任務，也是圓錐曲線部分的學習對學生提出的重點要求。為了讓學生將圓錐曲線的性質靈活運用到解題當中，教師必須引導學生在掌握每一個性質定理的基礎上，將圓錐曲線進行拓展和延伸，使學生能夠在掌握基本定義和性質的基礎上做到舉一反三。筆者結合教學中的實踐，談談圓錐曲線的性質在高考解題中的運用策略。

一、在探求最值問題上的運用

最值問題是數學中常見的題型，它與圓錐曲線相結合來進行命題，主要考查學生對圓錐曲線性質和定義的掌握與運用。這就要求學生在熟練掌握圓錐曲線相關內容的基礎上對題目進行深入分析和探究，并運用掌握的圓錐曲線性質和定義找到題目中的隱含條件，利用圓錐曲線的性質將題目進行轉化，找到其中的內在聯系，從而高效解決數學問題，實現數學教學的目標。

例1.在橢圓■+■=1內有一點P（1，-1），F為橢圓的右焦點，M為橢圓上的一點，使MP+2MF的值最小，求MP+2MF的最小值。

■

解：如圖，作MN垂直于右側準線于N點，

因為：■=e=■

所以：MN=2MF

MP+2MF=MP+MN

因此，當M、N、P三點一線時MP+MN最小，最小值為3。

反思：利用圓錐曲線的性質和定義將最值問題進行轉化，結合平面圖形的性質，將數形結合起來，將最值問題直觀化、簡單化，簡化解題思路，提高學生解題效率，并保證其正確率。

二、圓錐曲線在軌跡題型中的運用

軌跡型題目是高考中常見的題目類型，圓錐曲線在軌跡型題目中的運用主要表現在兩個方面：（1）根據方程式來判斷動點運

動的軌跡。（2）運用圓錐曲線的性質來求解方程式。因此，軌跡型題目主要考查學生對圓錐曲線性質的掌握和運用情況，并靈活運用曲線性質來分析運動軌跡，列出方程式。這是圓錐曲線的基本內容，也是圓錐曲線學習的重點和難點，更是高考考查的重點類型。定義法是利用圓錐曲線求取方程式的重要方法，它能有效將復雜的運動軌跡直觀化、簡單化，學生可以借助圓錐曲線的定義和性質，快速判斷出動點的運動軌跡，進而在已知條件的基礎上快速準確地列出表達式，幫助學生快速解出正確答案。

例2.方程x2+（y-2）2=x-y-4對應點P（x，y）的軌跡為 .

A.橢圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.兩直線

解：將方程變形，可以得出動點P（x，y）到定點F（0，2）的距離比上它到直線L∶x-y-4=0的距離的比值為2，由曲線的性質定義可知，離心率大于1的只有雙曲線。因此，題目中P點的運動軌跡應該是雙曲線。

反思：利用圓錐曲線的性質來對題目中的隱含條件進行判

斷，可以有效簡化題目的解題過程，快速找出正確答案。首先，學生要靈活掌握圓錐曲線的各種性質和定義；其次，利用圓錐曲線的性質來尋求題目中的內在聯系。

三、利用圓錐曲線性質解決三角形中的問題

在高考題型中，將圓錐曲線與三角形相結合是高中命題的一個走勢，它要求學生根據曲線性質來對已知條件進行判斷，建立兩者之間的關系，從而直接有效地解決三角形問題。

例3.F1、F2分別為橢圓的兩個焦點，過F2作橢圓長軸的垂線，與橢圓交于P點，如果△F1PF2為等腰直角三角形，求橢圓的離

心率。

解：設橢圓的長軸長a，短軸長b，焦距為c

若△F1PF2為等腰直角三角形，

則：PF2=F1F2=2c，PF1=2■c

又PF1+PF2=2a，

則：2c+2■c=2a，e=■-1

所以橢圓的離心率為■-1

反思：在本題中，可以利用橢圓的性質構造出a與c的關系，再由橢圓的性質和離心率定義，可以輕松得出橢圓的離心率。主要考查學生對離心率性質和定義的掌握與運用情況。

綜上所述，圓錐曲線是高中數學教學的重點、難點。掌握圓錐曲線的性質和定理，并能舉一反三，才能在解題過程中靈活運用，并且將知識點巧妙轉化運用到實際問題中，進而提升學生的學習興趣、解題能力與思維能力，從而達到教學的本質目的。

參考文獻：

[1]張建葵.從幾道高考題看圓錐曲線定義解題的應用[J].中學數學研究，2010（8）.

[2]汪建均.圓錐曲線性質在解題中的運用初探[J].中華少年，2011（5）.