對含有“任意”與“存在”不等式問題的解題探析

內(nèi)蒙古赤峰第四中學(xué) 張子慧

對含有“任意”與“存在”不等式問題的解題探析

內(nèi)蒙古赤峰第四中學(xué) 張子慧

高考試題多數(shù)都是在知識的交匯點(diǎn)處命題，而不等式問題恰好是知識交匯點(diǎn)的最好載體之一。在解決不等式問題中，經(jīng)常含有“任意”與“存在”等詞，因?qū)@兩個詞理解不透，同學(xué)們往往用盡了洪荒之力，也不得其解。下面通過幾例及變式（即題組）對這兩個概念進(jìn)行深入探析，希望起到拋磚引玉的作用，解除你的煩惱。

一、“任意”、“存在”僅含一個

解：已知m的范圍，可設(shè)關(guān)于m的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)為：

點(diǎn)評：1.在例1與變式1中，都出現(xiàn)“任意”指的是對于給定的區(qū)間的每個值都能使不等式成立，“任意”等價于“所有”、“一切”、“都”、“每一個”等詞語。

2.對于例1與變式1，若不仔細(xì)看，還誤認(rèn)為是一個題，其實(shí)它們區(qū)別很大，例1知道x的范圍，所以x是自變量，它就是關(guān)于x的二次不等式，求m的范圍，m就是參數(shù)。變式1知道m(xù)的范圍，所以m是自變量，它就是關(guān)于m的一次不等式，求x的范圍，x變?yōu)閰?shù)。

3.無論是相應(yīng)的一次函數(shù)還是二次函數(shù)，恒大于零等價于在給定區(qū)間上其相應(yīng)的函數(shù)圖象都在x軸的上方，否則相反。上面兩個題還可以用分離變量，然后設(shè)一個新函數(shù)，再求導(dǎo)，確定增減區(qū)間來求解。

點(diǎn)評：此處“存在”指在某區(qū)間內(nèi)只要有一個值滿足不等式成立即可，因此直接求不易操作，但它是特稱命題，這個命題的否定形式就是全稱命題，這樣就容易解了，運(yùn)用了“正難則反”方法，然后再求補(bǔ)集即可，給解題者帶來了耳目一新的感覺。

二、“任意”、“存在”含有兩個

以上對含有“任意”與“存在”不等式問題的解題探析可知，只有清楚“任意”與“存在”問題的內(nèi)涵與外延以及它們的區(qū)別與聯(lián)系，才能正確解題。同時也知道含有“任意”與“存在”的不等式與對應(yīng)的函數(shù)在定義域上的值域的最值有著密切關(guān)系。例題及例題的變式，從不同角度、不同側(cè)面研究了一串問題，通過類比、拓展，摒棄了題海戰(zhàn)術(shù)，變被動思維為主動自覺思維，形成“趣學(xué)”、“樂學(xué)”的氛圍，培養(yǎng)良好的求異思維，發(fā)散性思維，從而對分析問題和解決問題能力的培養(yǎng)大有裨益。由此可見，對含有“任意”與“存在”的不等式問題及變式的探析較好地體現(xiàn)了新課程的理念，具有鮮明的時代性。