例談中考數學中最值問題的解決策略

江蘇省淮陰中學新城校區 韓先麗

例談中考數學中最值問題的解決策略

江蘇省淮陰中學新城校區 韓先麗

隨著新課標的實施與推廣，近幾年全國各地的中考試卷中出現了許多與最值有關的數學題目。這類問題具有較強的開放性和探索性，設計又新穎，能有效地考查學生的數形結合、動手操作能力，有利于培養學生的探究意識和創新精神，很受命題者的青睞。這類問題形式多樣，能考查學生與多方面知識的整合和運用能力，已逐步成為中考試卷中的一個亮點。在此采擷幾例中考試題加以歸類淺析，供同行探討。

一、與不等式相結合的最值問題

例1 （南京中考）鐵路部門規定旅客免費攜帶行李箱的長、寬、高之和不超過160cm，某廠家生產符合該規定的行李箱，已知行李箱的高為30cm，長與寬的比為3∶2，則該行李箱的長的最大值為cm。

解：設長為3 x cm，寬為2 x cm，由題意，得：5x+30≤160，

解得x≤26，故行李箱的長的最大值為78cm。

點評：本題考查了一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，找到不等關系，建立不等式。

二、轉化為二次函數解決的最值問題

例2 （蘇州中考）如圖1，直線l與半徑為4的⊙O相切于點A，P是⊙O上的一個動點（不與點A重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，連接PA。設PA=x，PB=y，則x－y的最大值是 。

圖1

圖2

解：如圖2，作直徑AC，連接CP，∴∠CPA=90°，

∵AB是切線，∴CA⊥AB，∵PB⊥l，

∴AC∥PB，∴∠CAP=∠APB，

當x=4時，x-y有最大值是2。

點評：此題考查了切線的性質。平行線的性質、相似三角形的判定與性質以及二次函數的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵。

三、利用軸對稱解決的最值問題

例3 （宿遷中考）如圖3，正方形ABCD的邊長為2，點E為邊BC的中點，點P在對角線BD上移動，則PE+PC的最小值是 。

圖3

圖4

解：如圖4，連接AE，AP，

∵點C關于BD的對稱點為點A，∴PE+PC=PE+AP，根據兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值。

∵正方形ABCD的邊長為2，E是BC邊的中點，∴BE=1，∴

點評：此題主要考查了正方形的性質和軸對稱及勾股定理等知識。根據已知及兩點之間線段最短可得AE就是PE+PC的最小值是解題關鍵。

例4 （連云港中考改編）某數學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，如圖5，已知AB=8，P是線段AB上的一動點，分別以AP，BP為邊在同側作正方形APDC和正方形PBFE。若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經過的路徑的長及OM+OB的最小值。

圖5

如圖6，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形。

∵點O為中點，

∴點O的運動路徑在與AB距離為4的平行線上。

由題意知MN=6，點P在線段MN上運動，且點O為GH中點，

如圖7，作點M關于直線XY的對稱點M′，連接BM′，與XY交于點O。

由軸對稱性質可知，此時OM+OB=BM′最小。

圖6

圖7

點評：本題是中考壓軸題，難度較大。解題難點在于分析動點的運動軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力。此外，本題還綜合考查了二次函數、整式運算、四邊形、中位線、相似、軸對稱與勾股定理等眾多知識點，是一道好題。

四、對教學的啟示

1.重視“四基”，提升思維品質

2011年版《數學課程標準》提出了學生獲得適應社會生活和進一步發展所必需的“四基”，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。較之之前的課程要求，新增了基本思想和基本活動經驗。為了體現數學的本質，這就要求課堂教學中要善于引導學生歸納并體會數學中常用的思想方法，如：分類討論、數形結合、類比等數學思想。為了體現學生的主體地位，這就要求教師要從學生的角度去設計一些貼近生活，利于操作，學生感興趣并積極參與的活動，并讓學生在活動中獨立思考、主動探索、合作交流，使學生能夠通過活動，理解和掌握基本的知識和技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗。

2.培養“四能”，善于反思創新

2011年版《數學課程標準》提出“體會數學知識之間的聯系……增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，這就要求教學設計環節中要有學生發現和提出問題的平臺；教學探索環節中教師要退居二線，不可包辦、代辦，要突出學生的主體地位，引導學生要有自主思考，合作探究的數學活動意識。從歷年中考立意來看，“四能”不僅要求學生會根據已有的數學知識和數學思想方法分析和解決提出的問題，更要求學生有發現和提出問題的能力，這是要求學生會知識遷移，是對學生創新能力的要求。這些都需要我們在今后的教學中加以重視和培養。