Euler代換在不定積分求解中的運用

凌雪岷,潘娟娟，李 寧

（1.安徽新華學院 通識教育部，安徽 合肥 230031；2.淮南師范學院 金融學院，安徽 淮南 232038）

Euler代換在不定積分求解中的運用

凌雪岷1,潘娟娟1，李 寧2

（1.安徽新華學院 通識教育部，安徽 合肥 230031；2.淮南師范學院 金融學院，安徽 淮南 232038）

針對型不定積分，考慮到被積函數的復雜性，本研究引入數論中Euler代換的思想，利用Euler代換求解該類不定積分.同時通過具體實例說明利用Euler代換求解不定積分是適用范圍更廣的一類計算方法.

不定積分；整體代換；Euler代換

1 引言

不定積分是高等數學和微積分中的重要內容,熟練掌握不定積分對后續定積分的學習有重要幫助,因此對不定積分計算方法的歸納很有必要.對于一些簡單的不定積分計算有直接積分法、換元積分法、分部積分法.其中,直接積分法可對照基本積分表快速得出結果.換元積分法又分為第一換元積分法(即“湊微分”法)和第二換元積分法.第二換元法較多地用于一些較簡單的無理函數的不定積分計算,通過變換去掉被積函數中的根號,簡化積分.但是究竟選用什么樣的變換才能奏效一般由被積函數的特點所決定,解題時可以靈活考慮選擇最簡便的方法.分部積分法主要用于被積函數中含有對數函數、三角函數、反三角函數、冪函數或指數函數因子的情形,按“對反冪三指”的優先順序選擇使用分部積分法.

對于一些較為復雜的有理式不定積分計算,比如有理函數不定積分的處理,一般來說是把真分式(若是假分式,可化為多項式與真分式之和)分解為若干容易積分的簡單分式之和,通過基本積分表分別求出每一部分的積分,最后求和可得最終結果.對含三角函數的有理式的不定積分即型不定積分,一般通過萬能代換可把它化為有理函數的不定積分,但求解的過程并不一定簡單,且在最終結果回代的過程中由于被積函數可能較復雜，容易出錯,所以在具體計算時,應視被積函數特點采用更為靈活簡便的代換.

對于某些無理根式的不定積分,則需要根據被積函數的類型選擇合適的計算方法.形如型不定積分(ad-bc≠0),可用代換將其化為有理函數的不定積分.形如型不定積分的求解,可先通過配方法或換元法將原式轉化為形如或型不定積分,再分別令u=vtant或 u=vsect或u=vsint,將原不定積分化為三角有理式不定積分,但是這樣的計算過程往往較繁瑣，且中間過程較多容易出錯,即使得出了最終結果,還需要換回原來的變量,而且這樣的結果也難以驗證其正確性.

2 利用Euler代換求解不定積分

本節先給出了Euler代換的基本思想,然后給出一個求不定積分的例子,說明對于型不定積分求解時,整體代換和Euler代換兩種方法都適用.再將被積函數的形式進一步推廣,即型不定積分(Pn(x)為n次多項式函數)的求解,用實例說明此時整體代換已不適用,更進一步的說明了Euler代換是比整體代換應用更為廣泛的一類運算方法.

2.1 代換的基本思想

③將原不定積分中的“x”全部替換成和“t”有關的函數,從而可將原無理式不定積分轉化為和“t”有關的有理式的不定積分,再采用常見的求不定積分方法即可求解.

2.2 舉例

這題先采用常見的整體代換的方法,再用Euler代換的方法.

3 結論

例1利用整體代換和Euler代換都可以求解,通過比較可以看出，Euler代換方法比整體代換方法較簡單.在例2和例3中，利用Euler代換求解方法更能顯示其有效性.然而，在目前的教材或文獻中幾乎沒有提到Euler代換,因此,它是值得推廣的一類有用的不定積分求解方法,可在日常教學中講授,拓寬學生的知識面,提高學生解決問題的效率.

〔1〕同濟大學數學系.高等數學(第七版)[M].北京:高等教育出版社，2014.

〔2〕裴禮文.數學分析中的典型問題與方法(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2006.

〔3〕張麗娟,何珊珊,王福昌,劉艷艷,張艷芳.不定積分計算中一類有用的變量代換 [J].數學學習與研究，2013（17）: 110-111.

〔4〕錢吉林.數學分析題解精粹[M].武漢:崇文書局，2003.

O172.2

A

1673-260X（2017）04-0001-02

2017-02-07

安徽省質量工程一般教研項目(2016jyxm0479);安徽省高等學校省級教研項目(2015jyxm305);安徽省自然科學省級重點項目(KJ2016A310)