借助動態定義認識角的分類
——《角的分類》教學案例

黃 建

【教學內容】

浙教版四年級下冊第四單元。它是在學生初步認識角，會量角、畫角的基礎上進行教學的。

浙教版教材幾何部分的編排與眾不同，強調“動態”視角。根據教材，本課之前學生已經認識了銳角、直角和鈍角，也感知了圖形的旋轉。在此基礎上，本課從旋轉射線入手，引導學生觀察、體會旋轉過程中角的變化，建立角的“動態表象”，使平角和周角與直線、射線概念顯著地區別開來，同時又在平角、周角及銳角、直角、鈍角之間建立生動的聯系、變化，較好地建立“平角”和“周角”的概念。

【教學過程】

一、動態旋轉，形成各類角

1.動態定義，引出角。

師：這有一條射線，如果繞著它的端點旋轉會得到什么圖形？如果繼續旋轉，還是角嗎？為什么？

（如圖：逐步旋轉，引出各種角）

2.揭示課題。

師：這么多的角，我們能不能把它們分一分類呢？

【設計意圖：該環節通過一條射線繞著它的端點旋轉會形成不同大小的角，感知角的大小是由始邊與終邊的位置關系決定，并初步體驗特殊位置能形成特殊的角。】

二、新課展開，角的分類

1.自主分類。

師：按角的大小來分，可以怎么分？

生：可以分成銳角、直角、鈍角、平角、周角。

2.全班交流。

（1）認識直角。

師：關于直角，你有什么想介紹的？

師：你能用這張紙折出直角嗎？

師：生活中，哪些地方還有直角？

師：我們用的三角板中也有直角，請你把它指出來。我們就用這個工具判斷一下9號、7號是不是直角。

（2）認識平角。

師：剩下的這些圖形中哪些也比較特殊？

（根據學生回答，聚焦平角）

師：它是角嗎？為什么？

生：我認為不是角。因為這里是平平的，不尖了，沒有頂點。

生：我也認為不是角，因為它看上去好像是一條直線。

生：剛才我們看到一條射線繞著它的端點旋轉形成不同的角，這個圖形是在旋轉過程中形成的一種特殊情況，也應該是角。

生：我也認為是角，只是這個角的兩邊正好成為一條直線，頂點在這里（指），兩條邊在這里（指），從一點引出的兩條射線就是角。

師：同學們說得很好。這是一個特殊的角。它的兩條邊在一條直線上，這樣的角叫做平角。我們一起來畫一個平角，先畫一個頂點，由這個頂點引出兩條射線。也可以看成是一條射線（指始邊），繞著端點旋轉了半周（指終邊）而形成的。仔細看看，平角與直角有什么關系？

生：1個平角=2個直角。

（3）認識周角。

師：剛才我們用角的定義對6號進行了判斷。你覺得8號是角嗎？為什么？

生：我認為是角，從剛才的討論中我發現這個圖形也是一條射線繞著它的端點旋轉形成的，而且是旋轉了一周，所以，我認為是角。

生：雖然從定義出發判斷是對的，但我還是有點疑問。角是由一點引出的兩條射線組成的圖形，而這里只有一條射線，怎么是角呢？

生：我補充，因為這兩條射線重合了，從這里開始，也到這里結束，其實是有兩條射線的。

師：由一條射線繞著它的端點旋轉一周回到原來的位置像這樣的角叫周角。為了更好地表現它旋轉的過程，我們加上這樣一個符號，標出箭頭。這樣是不是能看出有2條邊啦？周角的度數是360°。

師：周角相當于幾個直角？幾個平角？

生：1個周角=4個直角=2個平角。

（4）認識銳角和鈍角。

師：剩下的角我們很熟悉，有的比直角小，我們把大于0°而小于90°的角叫做銳角；有的比直角大，把大于90°而小于180°的角，稱為鈍角。

3.總結回顧，溝通聯系。

（1）再次旋轉，溝通聯系。

師：一條射線繞著它的端點旋轉分別得到什么角？

（2）交流討論。

師：你覺得哪些角比較特殊？為什么？

生：直角、平角、周角比較特殊。因為它們兩條邊的位置關系是確定的，給我們一條邊，我們就能畫出直角、平角、周角。直角、平角和周角，它們的度數是確定的，而銳角、鈍角的度數是在一個范圍內的。

生：直角比較特殊，因為平角相當于兩個直角，周角相當于四個直角。大于0°小于90°的角叫做銳角，大于90°小于180°的角叫做鈍角。這些角都與直角有關。

【設計意圖：根據學生的認知規律，設計了“找特殊角”的活動來幫助學生認識角，尤其是平角和周角。在折一折、轉一轉等直觀活動的基礎上，引導學生理性辨析平角、周角的構成，明確平角、周角的幾何屬性，落實概念。同學之間相互辯駁、相互補充，使對角的概念理解漸漸走向深入和豐富。在前期的學習中，學生已經認識了直角，因此教學中，注意以直角為標準概念，其他各類角積極與直角進行比較、溝通，既豐富了對其他各類角的刻畫維度，概念之間又建立了積極的聯系。最后，再次旋轉射線，展示銳角、直角、鈍角、平角、周角之間的演變形象，鞏固和強化它們之間的聯系與區別。在自然、自覺的操作和對話中，學生主動經歷知識形成和完善的過程，獲得良好的數學學習體驗。】

三、練習提升

1.認識三角板。

（1）量一量。

師：這里有兩塊三角板。哪個角的度數是你馬上能夠判斷出來的？（直角）剩下的四個角都是什么角？我們一起來量一量。

（根據學生回答標注角度）

（2）說一說。

師：請你自己再認一認、說一說各個角的度數。指出60°的角和45°的角。

（3）拼一拼。

師：兩塊三角板都用上，拼出一個新的角。想一想，最大的角會是什么角？請你試著拼好這個角放在桌子上。

生：兩塊三角板最多只能用兩個角拼在一起。選最大的兩個角拼起來，得到一個平角，90°+90°=180°。

2.觀察75°的角。

（1）觀察思考。

師：用兩塊三角板拼了一個這樣的角，請你估一估它是多少度？

（2）指名交流。

生：這個角小于直角，是一個銳角，用三角板上的銳角來拼。60°+45°=105°，不符合要求，30°+45°=75°符合要求。

3.拼特殊角（120°、105°、15°）。

（1）想一想，說一說。

師：這里還有三個角，它們也是由一副三角板拼出來的。請你先估一估，再拼一拼，然后跟同桌說一說。

（2）全班交流。

生：我來拼第一個角，這是一個鈍角，用一個直角+一個銳角來拼。經過嘗試是90°+30°=120°。

生：第二個角也是鈍角，但比120度還小。想到把直角換成 小一 些的 銳 角：60° +45°=105°。

生：第三個角是不是錯啦？三角板里最小的角——30°的角都比它大，怎么可能是兩個角拼起來的呢?

師：有道理哦！

生：第三個角是把兩個角重疊在一起，找相差部分！把45°角和30°角重疊起來，它們的差就是這個15°角。

（3）總結。

師：剛才，我們在用三角板拼角的時候，有兩步是非常關鍵的。首先是判斷角的類別，以90°為標準，看比90°大還是比90°小；其次，不僅要從“和”的角度去考慮，也可以從“差”的角度去考慮。當然，動手拼一拼，驗證一下也是必要的。

【設計意圖：幾何教學不僅要教知識，更要創造機會讓學生應用知識解決問題，在此過程中發展學生的空間觀念和推理能力。拼角的活動由易到難，75°角是一個銳角，學生自然想到用銳角來拼，只有一種可能，75°=30°+45°。在此基礎上，全體學生完成120°、105°和 15°三個任務，提倡學生自主觀察、自主分析、操作驗證，三個任務的解決過程有同有異，方便學生在對比中體會到基本的思想方法。如先判斷角的類別，以猜測拼角的可能；有序的組合角度；既可以從“和”的角度考慮，也可以從“差”的角度考慮等等。空間觀念，要做、要看，在做中感悟，從指尖上生長智慧。】

四、回顧

學習了這節課，你們有什么收獲？

【編輯點評】

《數學課程標準》指出：“數學教學應該是從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，向他們提供充分的從事數學活動和交流的機會。”這節課正是遵循這一理念，充分考量四年級學生的生活經驗和認知基礎，設計了一系列看、做、說的活動，有效地為學生創設了主動建構知識、應用知識的空間，思維如流水般在課堂里流淌。

整節課充分利用角的動態定義，著重讓學生在動態聯系中認識各類角，掌握各類角之間的聯系與區別。教師善于將操作與反思相結合，通過適時的提問、追問，引導學生反思操作所得的形象、表象，深入分析其幾何本質。如平角和周角是不是角？那就要回顧平角和周角是怎么形成的？是否符合角的定義？（先動態再靜態）又如，各類角之間有怎樣的聯系和區別？反復演示射線旋轉的過程，引導學生觀察各類角的形成，突出特殊的角度。將以直覺把握角的大小的分類方法與以特殊度數的角為分類依據的分類方法進行了比較，實現了知識的深度建構；此外，拼角的活動也富有教學內涵。相較于使用三角板自由拼角來說，這個活動相對封閉，但思考性也更強。看到一個角，如何推斷它是怎樣拼成的呢？學生在嘗試完成不同度數角的拼組任務的基礎上，慢慢積淀、概括出一些經驗：先判斷角的類別，有利于更好地猜測拼組的可能；兩個角可以合起來，也可以重疊相減。

總的來說，這節幾何課，一是深入數學內部，從動態角度解釋角的類別與關系，非常有效；二是注意操作與思辨有機結合，把操作作為思辨的基礎，思辨則使操作走向深化，很好地推動了空間觀念的發展。