《問題解決
———兩積之和結構》教學設計

鄧星華

【教學內容】

浙教版復合數量關系的基本結構，兩積之和結構。

【教學過程】

一、多圖表征，尋找聯系

師：在研究學習單上有3道題，開動腦筋好好研究研究。

1.解決問題。

寫一寫：看圖列式并計算。

想一想：為什么這樣列式？數量關系是什么？

找一找：三道題有什么相同與不同？

（學生獨立完成）

2.反饋交流。

師：哪個小組派代表上來展示一下你們的研究情況？

（展示學生研究學習單）

師：先向大家介紹你的算式，再說說為什么這樣列式？

生：圖形A面積+圖形B面積=面積之和；橡皮總價+鉛筆總價=總價之和；小林騎行路程+小云騎行路程=路程之和。

（教師板書算式）

師：看起來三道題都不一樣，你們怎么看出都是兩積之和？上臺指一指。

3.建立模型。

師：剛才同學們通過列式計算，發現他們有著相同的結構。其實在做題時借助長方形圖來分析數量關系，也能一眼看出就是兩積之和結構。

師：我們試著來表示一下。

（第一題已經是長方形面積圖了；第二題用一個長方形表示橡皮的總價，另一個長方形表示鉛筆的總價，長和寬分別表示單價和數量，單價×數量=總價，面積和就變成了總價之和；第三題，一個長方形表示小林行駛的路程，另一個長方形表示小云行駛的路程，長和寬分別表示速度和時間，速度×時間=路程，面積之和就變成了路程之和）

師：“兩積之和”結構可以用這樣的算式表示，幾乘幾加幾乘幾等于幾。

（板書：□×□＋□×□=□）

師：用字母表示，還可以表示為：a×b+c×d=f（板書）。

師：這個算式太重要了，把這個算式寫在研究學習單上。

4.一一對應。

師：我們結合具體的題目來看看，a和b相當于每道題里面的什么數量？c和d呢？f呢？

生：第一題的ab、cd分別表示長方形的長和寬，f是面積之和。

生：第二題ab、cd分別表示單價和數量，f是總價之和。

生：第三題ab、cd分別表示速度和時間，f是路程之和。

生：三道題，雖然說的事情不一樣，但是數量關系都是一樣的，它們都是兩積之和結構。

二、正向逆向，體會模型

1.解決問題。

師：第一項研究學習任務大家順利完成了，接著第二項任務，準備挑戰。

（1）買8個蛋筒，每個3.5元；買12根冰棒，每根2元。一共要付多少元？

（2）買8個蛋筒和12根冰棒共付52元，一個蛋筒3.5元，一根冰棒多少元？

師：默讀題目，兩道題很像是不是？說的都是同一個事情，我們不妨借助長方形圖來展開研究，先看看研究建議。

想一想：在長方形面積圖中表示出條件和問題。

寫一寫：看圖列出兩積之和的等式。

找一找：兩道題有什么相同與不同。

（學生獨立完成）

師：第二題有未知的數據怎么辦？咱們上節課已經學過，可以用三角形來表示。只列式不計算，到了五年級我們將會學到怎么求三角形代表的數。

師：寫完的同學在4人小組里交流一下你的想法。

2.反饋分析。

師：哪個小組派代表上來展示一下你們的研究情況？

（對比展示學生研究學習單）

師：兩個同學都用長方形分別表示出了蛋筒和冰棒的單價和數量，只不過一個用長表示單價，用寬表示數量；另一個同學用長表示數量，寬表示單價。不論怎么表示，都能明顯的看出數量關系，都是先用“單價×數量=總價”，再用“蛋筒總價+冰棒總價=總價和”。

師：再看算式，第二題的三角形表示什么呀？數量關系也是———“蛋筒總價＋冰棒總價=總價和”，還是兩積之和結構。

師：兩題一起，比較一下。有什么相同與不同？

不同：第2題的條件變成了問題，問題變成了條件。

同：雖然條件和問題交換了，還是可以用兩積之和的思路來解決。借助圖形，我們清楚地看到找數量關系是一樣的。

師：我們對應兩積之和的算式a×b+c×d=f來看一看，第一題是求f，第二題是求d，借助長方形面積圖可以幫助我們透過現象看本質。

三、雞兔同籠，對比溝通

師：最后再來一題，古典名題“雞兔同籠”。

出示：雞兔同籠，共有30個頭，88只腳。求籠中雞兔各有多少只？

師：今天，我們不用列表法和假設法，怎樣求解這道題呢？

師：是不是和兩積之和結構有關呢？不妨自己畫長方形面積圖試一試。畫完圖之后，列出算式。

1.呈現學生作品。

師：用長方形的寬去表示兔和雞的只數，更清楚地表示出了題目的數量關系。“雞兔同籠”也可以用長方形面積圖來解釋。

2.呈現不同的算式。

（引導：已經能看出兩積之和的結構了，但是雞和兔一共30只沒有表示出來啊？加上這個算式▲＋●=30就完整了）

（引導：第一個算式是兩積之和結構嗎？）

四、全課總結

師：兩積之和、一個長方形面積加另一個長方形面積、一樣物品的總價加另一樣物品的總價、一個行駛路程加另一個行駛路程。回去你能不能也編一道兩積之和的題目，考考大家？