思想指明方向 技術(shù)助推前行
——《正方體展開圖》磨課歷程

何月豐

【思考?xì)v程】

學(xué)生在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方體和長(zhǎng)方體的表面積之后，經(jīng)常會(huì)碰到判斷一個(gè)圖形能不能圍成正方體的題目。

最初教學(xué)這樣的題，是“就題論題”式的，即碰到一次講解一次。

可是，這樣將教學(xué)目標(biāo)最終歸于“解題”的教學(xué)，學(xué)生對(duì)于正方體展開圖的理解，雖然經(jīng)歷了直觀操作，但最終還是靠記憶11種圖式，與“圖形與幾何”內(nèi)容教學(xué)的核心素養(yǎng)指向——空間觀念的培養(yǎng)——相去甚遠(yuǎn)。

空間觀念的形成與空間想象能力的培養(yǎng)有著密切的聯(lián)系。在幾何畫板素材搜索中發(fā)現(xiàn)了關(guān)于正方體展開圖的內(nèi)容，這讓我頓時(shí)豁然開朗。幾何畫板在進(jìn)行正方體各個(gè)面展開與折疊時(shí)的動(dòng)態(tài)演示，既具有直觀性，又能引起學(xué)生一定的想象，可謂兩全其美。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、引入展開圖

1.初識(shí)展開圖。

幾何畫板課件（以下簡(jiǎn)稱課件”）呈現(xiàn)一個(gè)正方體，然后將其動(dòng)畫展開（如下圖），直接揭示課題：這就是今天我們要學(xué)習(xí)的正方體展開圖。

2.辨析展開圖。

（1）將其中一個(gè)正方形變色（如下圖），告訴學(xué)生把這個(gè)正方形作為原正方體的“后面”，請(qǐng)學(xué)生觀察、想象另外幾個(gè)正方形是原正方體的哪個(gè)面。

（2）在學(xué)生觀察和想象之后，請(qǐng)學(xué)生上來點(diǎn)一點(diǎn)、說一說。

（3）課件演示折疊，驗(yàn)證學(xué)生觀察、想象的結(jié)論。演示時(shí)提醒學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注自己不確定的正方形。

二、研究“一四一型”展開圖

1.三種展開圖研究。

師：剛才我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一幅正方體的展開圖。老師這里還有一幅圖（如下圖），請(qǐng)你判斷一下，這幅圖是不是正方體的展開圖。

學(xué)生先獨(dú)立觀察、想象、判斷，在初步形成結(jié)論后，出示方位詞（如下圖），確定后面，然后請(qǐng)學(xué)生把其他方位詞拖到相應(yīng)的正方形上去，最后動(dòng)態(tài)演示驗(yàn)證學(xué)生的判斷。

簡(jiǎn)單判斷另外兩幅圖：確定一個(gè)正方形為后面，想象另外幾個(gè)正方形會(huì)是正方體的哪個(gè)面？

2.得出“一四一型”。

師：這是我們剛才研究的4幅正方體展開圖，老師現(xiàn)在把它們放在一起。請(qǐng)你仔細(xì)觀察一下，這4幅展開圖除了都有6個(gè)面、每個(gè)面都是正方形之外，還有沒有什么相同之處？

結(jié)合學(xué)生回答，給出名稱：一四一型（三層，最上面一層1個(gè)正方形，中間一層4個(gè)正方形，最下面一層1個(gè)正方形）。

3.尋找不同的“一四一型”展開圖。

師：我們現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了4種“一四一型”。老師有個(gè)疑問，難道“一四一型”的正方體展開圖就只有大屏幕上的4種嗎？還會(huì)不會(huì)有不一樣的“一四一型”展開圖呢？

師：都認(rèn)為有。想一想，你覺得還有幾種？

生1：我覺得還有3、4種吧。

生2：我覺得一共有16種，因?yàn)樯厦?個(gè)位置，下面4個(gè)位置，4×4是16種。

師：不僅說了數(shù)量，還說了道理，你的方法值得大家學(xué)習(xí)。那么，現(xiàn)在請(qǐng)大家仔細(xì)觀察大屏幕已經(jīng)有的4種，想一想還可能有怎樣的“一四一型”？

情況一：與已知4種展開圖中的一種對(duì)稱（如下圖，與已知2號(hào)對(duì)稱）。

師：這是新的“一四一型”嗎？生：是的。

情況二：是已知4種展開圖中的一種通過旋轉(zhuǎn)形成的。（如下圖，是已知2號(hào)旋轉(zhuǎn)180°得來）。同樣在學(xué)生擺出之后，引導(dǎo)學(xué)生觀察，再通過與課件中已知形狀對(duì)比、想象，直觀操作旋轉(zhuǎn)，明確這樣的圖形看成是同一種。

情況三：擺出新的“一四一型”展開圖。同樣經(jīng)歷與已知4種觀察對(duì)比再形成結(jié)論。（略）

4.研究“一四一型”六種展開圖的聯(lián)系。

通過學(xué)生不斷嘗試，發(fā)現(xiàn)“一四一型”展開圖現(xiàn)在只能擺出6種不同的形狀。

師：真的只有6種嗎？我們能不能來證明一下呢？

在學(xué)生思考之后，老師與學(xué)生合作，通過有序擺一擺來驗(yàn)證：中間4個(gè)正方形不動(dòng)，先把上面的1個(gè)正方形擺在第一個(gè)位置，然后依次移動(dòng)下面的一個(gè)正方形，形成4種圖式，每一種圖式都與課件上的6種圖式進(jìn)行對(duì)比，記下編號(hào)。如此完成16種圖式操作，發(fā)現(xiàn)去掉重復(fù)的，只有6種。

師：通過剛才有序移動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)“一四一型”的正方體展開圖只有6種。不知道你們有沒有想過，為什么“一四一型”展開圖，只要中間4個(gè)正方形不動(dòng)，上面和下面的正方形不管擺在哪個(gè)位置，都能圍成正方體？

生：“一四一型”中間是4個(gè)正方形，正好圍成一圈，這樣上面和下面的2個(gè)正方形就像兩個(gè)蓋子，不管放在哪里都能蓋上去。

在學(xué)生操作解釋的基礎(chǔ)上，老師再與一個(gè)學(xué)生合作，理解“蓋子”的道理，進(jìn)而直觀理解“一四一型”展開圖都能圍成正方體的道理。

三、研究“一三二型”展開圖

1.質(zhì)疑：正方體展開圖難道就只有這“一四一型”嗎？還有沒有其他的陣型呢？

2.學(xué)生在方格紙上畫其他陣型的展開圖，并思考能否圍成。

3.選取1幅“一三二型”進(jìn)行展示。

（1）請(qǐng)學(xué)生把自己畫出來的展開圖擺在黑板上。

（2）一起思考這是不是新的陣型？能不能圍成正方體？

（3）在學(xué)生想象、表達(dá)的基礎(chǔ)上，通過課件直觀動(dòng)態(tài)演示驗(yàn)證（如下圖）。

（4）得出名稱：一三二型。

4.質(zhì)疑：“一四一型”展開圖有6種，那“一三二型”展開圖到底有幾種呢？

（1）移動(dòng)上面的1個(gè)正方形，形成3種圖式。

（2）思考：下面的兩個(gè)正方形能不能移動(dòng)？

通過學(xué)生觀察、想象，知道出現(xiàn)“田”字型是不能圍成正方體的（如下圖）。

（3）明確“一三二型”有3種圖式。

四、感知“三三型”和“二二二型”（機(jī)動(dòng)）

1.展示學(xué)生所畫的其他圖形，通過與“一四一型”和“一三二型”對(duì)比判斷是不是新的圖式（有些只是90°旋轉(zhuǎn)）。如果是新的圖式，則通過想象判斷能不能圍成正方體。

2.結(jié)合展示找到“三三型”、“二二二型”，并通過幾何畫板的演示驗(yàn)證。