利用動作思維有意義地建構除法豎式
——對《有余數除法豎式》教學的思考

周春芝

蘇教版教材在二年級下冊安排了有余數除法的內容，同時教學除法的豎式計算。這部分知識是在學生已經掌握了表內乘、除法的口算，以及用豎式計算兩位數加法和減法的基礎上教學的。教學時要引導學生聯系操作過程來理解除法豎式中每部分的實際意義，并從中體會除法豎式結構的合理性，同時強化“余數要比除數小”的認知和理解。

在教學時我調整了教學順序，同時緊密聯系操作過程，讓學生參與除法豎式的建構過程，取得了較好的教學效果。

現展示如下。

師：你能用圓片或小棒代替蘋果分一分嗎？

（學生操作學具）

學生匯報：每5個放一盤，就是5個一份，分成2份，還剩2個。

填寫算式：12÷5＝ 2（盤）……2（個）

師：你能看著這道算式，說一說剛才是怎樣分蘋果的？結果是什么？

生：12個蘋果，每5個放一盤，放了2盤，還剩2個。

師：沒有分完，那分掉了多少個蘋果？說一說你是怎么知道的。

生：10個。每盤放5個，放了2盤，想口訣“二五一十”。

師：能不能完整說一說分蘋果的過程？

生：12個蘋果，每盤放5個，放了2盤，分掉了10個蘋果，還剩2個。

師：當有很多個蘋果，你還愿意擺一擺、分一分嗎？

生：不愿意，這樣太麻煩了。

師：有一種方法能快速地知道平均分的結果，那就是用豎式來計算。

師：剛才通過分一分，知道還有剩余，沒有正好分完?？梢韵氤伞?2里面最多有（ ）個5”。因為12里面最多有2個5，所以商就是2。

師：你覺得商寫在什么位置比較好？可以寫在除數的左邊，或者被除數的右邊嗎？

生：不行，如果寫在除數的左邊，別人以為除數是25；如果寫在被除數的右邊，別人以為被除數是122。

師：那寫在哪里比較合適呢？請同學間商量一下。

生：我們可以學加法和減法的樣子，在被除數下面先畫一條橫線，然后再寫上商2。

師：同意嗎？

生：（眾）同意。

師：想一想，怎樣求剩下的蘋果？

生：用原來的蘋果減去分掉的蘋果。

師：豎式中能看出原來的蘋果嗎？如果能，是多少個？

生：能，有12個。

師：哦！原來被除數就表示原來蘋果的個數。

師：那分掉的蘋果是多少？豎式中有沒有表示出來？

生：是10個，沒有表示出來。

師：說一說分掉10個蘋果是怎樣計算出來的？

生：放了2盤，每盤5個，一共分掉了10個。

師：我們都知道要求剩下的蘋果，應該用原來的蘋果減去分掉的蘋果。那這分掉的10個蘋果寫在豎式中的什么位置比較合適呢？請同學間再次討論一下。

生：我們覺得10寫在被除數12下面比較好。這樣就可以用12減10等于2，這個2就是剩下的蘋果，減法豎式計算中，就是被減數在上面，減數在下面。

生：可是被除數下面已經有商2了，再在下面寫上10，不知道的人看了會誤解的。

師：那如何解決這個矛盾呢？

生：我們只要把商2，寫到被除數的上面，別人就不會誤解了。

師：（故意把商2寫在除號和被除數之間）是這樣嗎？

生：不是，是橫線的上面。

師：你的意思是除號的上面嗎？怎樣對齊呢？

生：2對 12中的“2”。

師：理由是什么？

生：個位對個位。

師：下面算什么？

生：12減10，再畫一條橫線，右邊寫上減號，下面寫2。

師：以后等熟練計算后，右邊的減號可以省略不寫。直接寫成這樣的格式，但是心中要明白最后是算減法。

師：請同學們看著這個豎式，說一說，可以看出分蘋果的哪些信息？

生：原來有12個蘋果，每5個放一盤，放了2盤，分掉了10個蘋果，還剩2個。

師：豎式中10是怎樣得到的？

生：二五一十。

師：意思就用商“2”乘除數“5”得到的，是嗎？

生：是的。

師：看著豎式再說一說，剛才我們是先算什么，再算什么，最后算什么？

生：先想“12里面有（ ）個5”，再寫商2，然后算 2乘5等于10，最后算12減10等于2。

……

【反思】

教材編寫者先安排表內除法豎式，再教學有余數的除法豎式，其目的是遵循由易到難，分散難點，逐層突破的原則。編者認為表內除法的商與除法相乘的積剛好等于被除數，所求口訣中的積就是被除數，而有余數除法中商與除數的乘積小于被除數，其難度要大于前者，不利于知識難點的突破。根據筆者以往教學反饋情況來看，由于大部分學生不理解算理和除法豎式的特殊形式，錯誤地認為被除數是多少，下面的乘積也是多少，上下兩個數應該相同，并把這種錯誤的認知推廣至有余數除法的豎式計算中，甚至有部分學生認為求商和除數的乘積這步計算是多余的，因為當正好分完時被除數、除數和商已經把平均分蘋果的結果準確、完整地表達出來了。如果先教學有余數的除法豎式，再放手讓學生自主嘗試解決表內除法的豎式計算，通過對比使學生清醒認識到如果沒有分完，那么商和除數的乘積就小于被除數，只有正好分完的時候乘積才和被除數相同。而且正因為乘積小于被除數，最后相減后才有余數，而正好分完被除數和乘積相同，相減后得數為0，則說明沒有余數。先教學有余數的豎式，有利于學生在注意力最集中的時候突破難點知識。

同時，要想讓學生在有意義理解的基礎上建構豎式計算的算理和算法，除了要引導學生把操作過程和計算步驟建立有機的聯系外，至少還要讓學生部分參與豎式結構的生成過程。讓學生在討論、碰撞、交流、協商中自主感悟、體驗這種特殊結構的合理性和簡潔性。上述案例中有余數除法豎式生成的過程不是一帆風順的，而是學生在不斷矛盾沖突中調整、完善、重構以至趨于合理和認同的過程。在這一過程中學生不是旁觀者，而是主動參與者和商討者，學生的主觀能動性得到充分的發揮。由于豎式結構是全體成員共同協商和制定的智慧結晶，當然能被學生接受和悅納，所以在下面的學習過程再也沒有出現上述依葫蘆畫瓢的現象。

只有明晰了算理，明確了計算方法，才有助于學生計算能力的形成和提高。除法豎式計算規則，看似一種人為規定，然而這種規定背后隱藏某種必然的緣由，而教師需要做的就是引導學生挖掘并展現出其合理因素。本節課中除法豎式計算過程映射的生活原型就是學生分蘋果的操作過程，只有學生理解這個豎式結構中每一部分數量的實際意義以及它們之間的聯系，才能弄懂算理、掌握算法。案例中教師引導學生不停地在豎式計算和操作過程之間來回穿梭，當學生講清楚豎式中被除數、除數、商、乘積和余數實際意義的時候，算理和計算方法已經不言自明了。這時計算過程就是對操作過程的符號化提煉，學生對數和數量關系的理解不是停留于外在的模糊認知，而是內在意義的深刻理解，此舉有利于學生數感的建立和培養。