從“知”到“思”
———《特殊的兩位數減法》案例分析

林小紅

計算因有其固有的方法，多數教師在組織課堂教學的時候把教學目標集中在理解算理和掌握算法上，即使是練習課，也仍然以提高計算速度和正確率為主要目標。這種教法，即使學生知識掌握得再扎實技能訓練得再熟練，也只是知識與技能。

《數學課程標準》2011年版在傳統“雙基”（基礎知識、基本技能）的基礎上增加了基本思想、基本活動經驗。如何在計算練習課中落實“四基”？本節課以“特殊的兩位數減法為例”，在教學組織方式上，嘗試讓學生經歷發現問題——提出猜想——驗證猜想——應用規律的過程，通過數學知識的獲取和應用，鍛煉學生分析、概括、推理的能力，落實數學思想與方法，積累數學活動經驗，從而使學生實現從“點”到“面”，從知”到“思”能力的提升。

過程一 提出猜想，探索規律

1.呈現研究素材。

（從 1、2、3、4、5 這幾個數字中選出兩個數字，組成兩個兩位數，并求出它們的差）

（通過舉例使學生理解題意）

生：52-43=9。

師：這個例子符合要求嗎？

生：不符合要求，題目要求選擇兩個數字，而他選了4個數字。我選擇“5”和“3”，組成53”和“35”，53-35=18。

2.匯報交流，發現算式和差的特殊性。

生：21-12=9、52-25=27、43-34=9、41-14=27、54-45=9、51-15=36 、32-23=9、42-24=18、53-35=18、31-13=18。

（根據學生的匯報，教師依次將寫有算式的磁性卡片貼在黑板上）

生：我發現有些算式的差是一樣的。

生：我發現差等于9的算式最多，差等于36的算式最少。

生：我發現差都是9的倍數。

（板書：9）

師:同學們都發現了它們的“差”很特殊，除了“差”還有什么特殊的嗎？

生：算式也很特殊，都是調換兩個數字，組成兩個兩位數再相減的。

師：你能不能用符號或者圖形表示這樣的算式呢？

生：AB-BA。

生：蜜蜂-蜂蜜。

生：□○-○□。

師：同學們想出了這么多種方法來表示這樣特殊的算式，我們用“AB-BA”來代表“蜜蜂-蜂蜜”或者“□○-○□”可以嗎？

（板書：AB-BA）

師:像“AB-BA”這樣特殊的減法算式，它們的差與“9”的倍數有什么關系呢？

（板書：AB-BA9?）

師：現在我們就來研究這個問題。這10道算式太亂了，你覺得我們接下來可以怎樣研究呢？

生：我們可以把這些算式分類。

過程二 發現規律，驗證規律

1.分類。

學生按照計算的結果分類：

2.發現規律。

師：你們發現什么規律了？

生：我發現結果從9～36依次增加9。

生：每一列上下兩道算式比較，十位和個位依次大1。

生：我有一個小小的發現，比如：43-34，十位和個位上的數字相差 1，1×9=9，53-35 是2×9=18，52-25 是 3×9=27，51-15是 4×9=36。

3.驗證規律。

師：橫著觀察的4道算式都有這個規律，其它算式也有這樣的規律嗎？能不能換個角度觀察？

生：我來解釋一下，剛才總結出每一列上下兩道算式比較，十位和個位依次大1，這也說明了十位和個位的相差數都不變。比如第①列十位上的數字和個位上的數字都相差1，1×9=9；第②列都相差 2，2×9=18；第③列都相差 3，3×9=27；第④列都相差 4，4×9=36。

4.反例加深印象。

師：課的開始有同學舉出這個例子：52-43=9，這道算式能用今天所學的方法計算嗎？

生：不能，雖然它的結果也是 9，但是它不符合“AB-BA”，不是“特殊的兩位數減法”。

5.概括總結。

師：現在誰能把這些特殊的兩位數減法、差的規律概括起來說一說？

生：十位和個位上數字的相差數乘9就是結果了。

師：你說的十位和個位，是指“被減數”呢，還是“減數”？

生：不管“被減數”還是“減數”，都是一樣的，只要求出它們的相差數就行了。

師：如果用字母公式來表示這個規律，又應該怎么表示呢？

生 ：AB-BA= （A-B）×9，“A-B”就是十位和個位的相差數。

師：現在這個“？”可以擦了嗎？

（板書：AB-BA=(A-B)×9，擦掉之前的“？”）

過程三 增加數字，窮舉法驗證規律

1.豐富研究的材料。

師：如果把可以選擇的數字從“1～5”增加到“1～9”，還有這樣的規律嗎？

生：有這樣的規律。

師：如果規律存在，那么“AB-BA”的結果除了“9、18、27、36”之外，還有可能是幾？

（學生猜測，還可能是45、54、63、72、81）

2.討論驗證的方法。

師：數字增加后，符合要求的算式應該還有很多很多。這些算式都有剛才發現的規律嗎？接下來你們想怎么驗證呢？

生：可以把算式都寫出來驗證。

師：請第一小組把結果是“9”的、符合要求的算式都寫出來，看看有沒有這個規律，其他8個小組以此類推。

3.全班以學習小組為單位驗證規律。

師：寫得快的同學幫老師把數字卡片貼到黑板上去。

4.匯報交流。

（學生貼的數字卡片）

師：結果是“81”的算式怎么沒有，是他們偷懶了嗎？第9小組的同學你們有什么解釋的嗎？

生：結果是“81”的沒有。因為81÷9=9，所以十位和個位相減要等于9的，可是沒有這樣的兩個數。

生：我是這樣想的，91-19，已經選了相差最大的兩個數字了，它的結果也就“72”，所以“81”是不可能的。

師：你們能從兩個不同的角度去分析同一個問題，真是太了不起了。

生：我還有不同的方法。每一列的最后一道算式都是有規律的：98-89=9；97-79=18；96-69=27……咦，第四列怎么沒有這樣的規律了呢？

全班同學再一次陷入了沉思。1分鐘后，終于有學生大喊一聲：他沒有按順序排。

（將得數是“36”的卡片按照順序重新排列）

生：我接著說我的方法，95-59=36；94-49=45；93-39=

54；92-29=63；91-19=72。所以沒有一道算式的結果是“81”的。

生：怪不得得數越大，算式的數量就越少。

師：看來結果是“81”的不可能了。真是委屈第9小組的同學們了，雖然你們一道算式都沒有寫，但是你們思考的一點都不比別人少。

過程四 應用規律，解決問題

1.呈現題目。

“A”和“B”分別代表不同的數字，有哪些可能？

寫出豎式

2.匯報交流。

生：我是先試出一個，發現“A”和“B”相差 6，然后用相差 6的兩個數試試果然成功了。

生：可以將題目轉化成：AB-BA=54。

師：學以致用乃是學習的最高境界！你的回答太精彩了。

過程五 課堂小結，拓展延伸

師：我們來一起回顧一下這節課的學習過程：發現問題——尋找規律——驗證規律——應用規律，這些解決問題的方法可以為我們以后的學習服務。比如從1～9這幾個數中，選擇三個數字，組成像ABC-CBA”這樣的減法算式，它們的差又與什么有關，有什么關系？同學們課后也可以按照今天學習的方法去思考一下，說不定你會有新的發現。

本節課是由兩條線交織而成的，一條明線：探究“AB-BA”這樣特殊的兩位數減法差的規律；另一條暗線：對數學思想方法的指導。數學教育的核心價值不僅只有知識和技能，還在于思想與方法。從“知”到“思”，學生發現規律之旅充滿了“艱辛與曲折”，而正是這樣的艱辛與曲折，體現了教師“教”是為了“不教”的目的，也正是經過了這樣的艱辛與曲折，才使數學思想方法、數學活動經驗落到實處。