基于“數學工具”的中職數學問題解決教學模式的構建

羅海霞

基于“數學工具”的中職數學問題解決教學模式的構建

羅海霞

問題解決教學是數學教學的核心，而目前中等職業學校數學教學仍以傳統的知識傳授為主，如何抓住數學教學的核心，之于中等職業學校的學生薄弱的數學基礎和學習能力，始終是個難題。從中職生的數學學習現狀、數學工具的功能、問題解決學習特征、問題解決教學程序和中職數學教學目標等方面，探討了如何借助數學工具，進行中職校數學問題解決教學的模式構建。

中職；數學；教學模式；教學工具；問題解決

“數學工具”指具有信息化技術特征的數學軟件，本文特指幾何畫板、計算器和EXCEL。

一、從中職生數學學習現狀看應用數學工具的必要性

（一）中職生數學學習現狀

2016年，國家教育部在進行新一輪教材編制的同時，對1萬名中等職業學校的學生進行了調研。結果發現，中職生數學學習水平和能力尚達不到小學畢業的水平。依據筆者的調查，具體表現在以下三個方面。（1）中職生對于數學知識的記憶嚴重欠缺。調查發現，中職生對概念、定理和公式的記憶往往只憑印象，不夠準確；運算法則的記憶嚴重混淆；解題方法和技巧只記表象，表現出對數學知識模糊記憶的特性。即時記憶雖然較好，但沒有在深刻理解意義后形成長時記憶，缺少應有的記憶動力和熱情，呈現出較為嚴重的記憶缺失。[1]（2）幾乎所有“中職生”在數學思維縝密性方面存在不足。表現出影響數學思維縝密性的思維深刻性不夠，對數學語言的內在關系缺少足夠的認識，對出現的錯誤只有膚淺的反思，對數學概念的直覺理解往往存在較大的偏差，數學思維的準確性不高、完備性不夠、推理的隨意性較大及反思的深刻性不足，不能形成運用高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系的能力。推理過程中對形式化、符號化了的邏輯用語的理解尤為困難。表現出不定型、不穩定的思維樣式。[2]（3）數學應用意識十分薄弱。表現為，除了小學的簡單計算知識以外，數學知識遠離了“中職生”的生活。對學科課程中所用到的數學知識了解度極低，對數學解題技巧的記憶勝過對數學方法的了解。運用數學知識、思想和方法解決實際問題的能力薄弱。在生活中主動應用數學模型思想的意識淡薄。數學應用能力的知識儲備、能力儲備均不足。[3]

由此可見，中職生缺乏學習中職數學應有的計算能力基礎、思維能力基礎和數學應用意識。若要繼續學習數學，必須要借助能幫助他們計算、思維和應用的平臺，而具有這種功能的最便捷的工具就是計算器、幾何畫板和EXCEL等數學軟件，即本文所指的數學工具。

（二）數學工具的功能

“數學工具”指在數學教學過程中，為更好地促進并達成學習目標所采用的工具，主要指數學軟件或數學辭典等。本課題指幾何畫板、計算器和EXCEI等較為普及的數學教學軟件。這些教學軟件具有強大的計算、作圖、列表、動畫和演示等功能。在講抽象的概念之前，運用計算機和數學軟件的計算、演示和模擬功能，讓他們自己去分析、發現其中的規律，在真正講授抽象概念時，就不會感到突然。在講述定理時，也可以參照這個辦法，在計算機的幫助下，可以將以往繁重的、手工不能實現的計算變得輕松起來。這樣就可以將實際問題引進課堂，讓學生體會數學的實際價值。[4]這些功能可以幫助中職生彌補計算、思維和應用意識不足的缺憾。故中職生的數學學習需要數學工具的參與，因為，數學工具可以促進中職生進行計算、思維和應用。

二、從當前中職數學教學模式看問題解決教學模式

當前，中職數學教學模式仍然以凱洛夫教學模式為主，強調“以知識、技能和熟練技巧的體系去武裝學生，并在這一過程中使學生的認識能力和才能得到發展”。[5]教學過程是教師教、學生學，教學的基本階段可以用“直觀—思維—實踐”公式說明，其核心是教學五環節，組織教學—復習舊課—講授新課—鞏固新課—布置作業，強調教學中的知識傳授的系統完整和教學結構的嚴謹整飭。[5]這種模式在中職數學課堂表現為“五難”：組織教學難、復習舊知識難、講授新課難、鞏固練習難和作業完成難。

繼“新數運動”和“回歸基礎”之后，1980年，美國數學家大會提出了數學教育的核心是“問題解決”。這一觀點迅速被全世界大多數國家接受，直至今天，仍然是數學教學研究的熱點。我國自上世紀80年代開始引進國外的相關著作，到上世紀90年代，全國范圍內掀起問題解決的熱潮，直至現在，豐富了問題解決的內涵：由解題教學到解決問題教學到問題解決教學。而中職數學教學由于其在中職校課程的地位、生源和環境等因素的影響，并未真正跟上世界范圍內的教育核心改革，但這并不是說中職生就不需要數學核心素養的提升，恰恰相反，作為未來高素質技能性人才，其必備的素質就是解決陌生問題的能力。因此，在中職校數學課堂實施問題解決教學勢在必行。

如果說，現行凱洛夫教學模式強調教學中的知識傳授的系統完整和教學結構的嚴謹整飭，[5]側重于培養邏輯推理和思維嚴謹性。那么，問題解決教學的教育價值就在于培養學生學會觀察、分類、概括、歸納、一般化、特殊化和分析解決問題的思維能力，運用原有的知識和經驗解決新的陌生的問題。前者，若加以適當的改造、變通仍將發揮很大的作用。目前，卻受到當代教育理論和教育實踐的質疑。也許是因為，教學模式信息化時代的大潮撲面而來，建構主義教學觀和實驗教學實踐的興起，使數學課程的教學目標正悄然地發生變化。中職數學課程標準明確指出：“培養學生運用計算器、計算機進行計算的能力，學會分析問題、解決問題的能力?！边@都要求中職數學教學模式的構建不僅需要關注課程的性質、特征，更要為目標服務。因此，信息技術環境下的問題解決教學再不能退隱中職數學教學幕后，它應像普通教育那樣走上前臺，而不是中職常見的用幾何畫板研制個別課例，或將計算器、EXCEL的部分操作案例僅僅作為教材的附錄加以介紹。構建有數學工具參與下的問題解決教學模式也就成了亟待解決的問題。

三、數學工具下中職數學問題解決教學模式的構建

（一）基于中職生認知特征和運用數學工具進行問題解決學習的特點，構建相應的模式

中職生普遍屬于數學學習方面的失能人群，具體表現為認知障礙、記憶障礙、閱讀障礙及運算障礙等認知特征以及多動、分心、固執、笨拙、沖動和孤僻等行為特征。心理學家沃納研究認為：“處于這種狀態的學生，往往在數學學習方面表現出審題能力差，抽象思維能力薄弱，空間認知能力低，記憶力低導致的運算障礙等?！贬槍@樣的學生，將教學方式結構化（從個別教學到小組教學），能使學生形成自我表達及與別人進行問答的習慣。

而問題解決學習正是具有在教學方式結構化的情境中開展學習的特點。問題解決學習起源于20世紀50年美國的醫學教育。它的原型基本特征有五個方面：（1）將學生分組；（2）組內對問題進行研究和討論學習；（3）學生進行自我指導式；（4）再次集合回報各自學習心得，并處理問題；（5）學生對自己的工作進行自評和組評。通過問題解決對數學知識形成深刻的、結構化的理解，形成問題解決的技能，發展自主學習能力。問題解決是貫穿教學始終的核心。問題解決的特征就成為構建模式應遵循的原則之一。問題解決的特征包括：（1）目的指向性；（2）心理過程的一系列操作序列；（3）為了達到某種終結狀態，而采用的認知操作過程。

在問題解決學習的過程中，忽略操作的作用而總是保持在語言水平上，特別在數學教育中這是一個嚴重的錯誤。操作和數學實驗遠非阻礙了演繹思想的后期發展，事實上，它組成了一個必要的準備。因此，使用數學工具是為了達到目的而選擇的操作手段，是認知操作過程的一部分，是認知操作手段的延伸和拓展，是進行問題解決學習不可或缺的工具。數學工具在輔助問題解決學習中具有以下特點：（1）形象性。借助數學工具可以形象地展示數學概念、規律；（2）實時性。數學工具可以隨時根據學習的需要展示數學對象；（3）替代性。數學工具可以替代中職生開展計算、作圖和制表等工作。

（二）基于中職生操作數學工具進行數學問題解決學習的教學程序

數學問題解決教學是通過創設問題情境，激發學生的求知欲望，使學生親身體驗和感受分析問題、解決問題的全過程。它強調使用數學的意識，培養學生的探索精神、合作意識和實際操作能力。運用數學工具進行問題解決的教學程序包括以下六個環節。

1.基于問題解決的教學設計。問題解決在問題空間中進行搜索，由一定的情景引起的，按照一定的目標，應用各種認知活動、技能等，經過一系列的思維操作，使問題得以解決的過程。問題的設計是整個教學過程的關鍵。所提出的問題既要激發學生的學習興趣，又要包括即將學習的數學知識，且能引導學生自主探究，不斷深入。關于問題的設計流程，如圖1。

圖1 問題的設計流程圖

2.數學知識的應用準備。數學知識包括數學的概念、公式、定理和運算方法等。此處的知識傳授，有別于傳統的教學模式中通過反復訓練，強化知識認知。傳統模式固然強化了基礎，然而，卻犧牲了學生的問題意識、創造思維和應用能力的培養。本模式則強調通過問題的引導，教師指導學生經過查找、思維等過程，親身體會知識產生的過程，這樣的學習具有靈活性和可變通性。

3.建立問題解決數學模型。數學模型（MathematicalModel）是將現實問題歸結為相應的數學問題，并在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究，從而，從定性或定量的角度來刻畫實際問題，并為解決現實問題提供精確的數據或可靠的指導，通常用字母、數字及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象和框圖等，描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。建立數學模型是溝通現實問題、數學知識和數學工具的必要途徑。

4.確定數學工具和操作路徑。當建立在數學知識基礎之上的數學模型一經確立，解決這個模型對應的問題，就需要學生尋找合適的數學工具。如模型是二次函數最值問題，可以選擇幾何畫板中的作圖工具，很容易地獲得結果。而無須運用二次函數圖像法求最值或配方法求最值，因為，這些方法對于多數“中職生”是難以理解的，更無從運用它們解決問題。借助工具，不僅可以幫助學生克服因解決數學模型帶來的思維障礙，而且可以幫助學生順利地發展建模思維。

5.反思小結。對整個問題解決過程進行梳理，凝縮問題點、確定知識點、熟悉工具操作路徑，體會數學模型的建立思路。總之，這個過程是對整個解決過程的提煉和升華。

6.反饋提升。在反思小結的基礎上，通過問題點的變化，由學生獨立地運用前面的思路體驗解決問題的全過程，鞏固問題解決的思維方法，熟悉學習過的數學知識及數學工具的操作路徑，提升解決問題的能力。

終上所述，基于利用數學工具進行問題解決的教學程序，立足于問題的設置，創生出問題，引導出新知，構建出數學模型，借助數學工具加以解決，觸及了讓數學基礎薄弱（運算能力薄弱，數學技巧等不足）的中職生，達到數學學習的最高境界——問題解決的目標。

（三）基于問題解決教學和中職數學教學目標的達成

根據江蘇省中等職業學校數學教學標準和斯根普“工具性理解”的內涵，中等職業學?！肮ぞ咝浴苯虒W模式的教學目的歸納如下：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民所必要的數學素養，以滿足個人發展與社會進步的需要。操作教學模式通過強調課程的邏輯體系，運用數學工具，進行操作學習，解決學生邏輯推演過程中存在的基礎薄弱的問題，激發學生學習興趣，培養學生作為未來公民所必須的數學素養。

1.獲得專業學習和終身發展所需要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學結論及形成背景。

2.發展學生分析、比較、綜合及推理能力，使學生初步學會應用數學概念和方法，辨明數學關系，形成良好的思維習慣。

3.掌握數學工具（幾何畫板、計算器和EXCEL等）的使用方法，克服數學學習中來自計算、公式的靈活應用所帶來的學習障礙。

4.增強學生提出、分析、建立數學模型，借助數學工具解決問題的能力。

5.發展數學應用意識和創新意識，力求對現實世界尤其是專業背景中蘊含的一些數學模型進行思考和做出判斷。通過上述分析，構建基于數學工具的中職校數學問題解決教學模式（見圖2）。

圖2 基于數學工具的中職校數學問題解決教學模式

（四）實現條件

1.教師。首先，堅持有效教學的觀念，讓中職生真正學到數學。現行的中職數學教學內容是以數學概念、公式和定理為依托，按照邏輯推演的方式呈現出來，符合數學自身的邏輯結構。然而，中職生都難以掌握。作為中職校的數學教師，理應樹立有效教學的理念，根據中職生的實際，教授他們能夠學習的數學。其次，努力提升數學工具的操作能力。作為現代化教學手段之一的幾何畫板、計算器和EXCEL等數學工具是現代人工作、生活必須的工具之一，更是中職生數學學習的重要平臺。作為中等職業學校的數學教師，提高自身的操作能力，有利于靈活、有效地指導學生運用工具解決數學問題。再次，熟悉問題情境教學方法。問題設計需要具有創生新知識和運用數學工具的取向。教學過程中尊重學生的主體地位，對于學生能自己探究的問題，盡量放手讓其嘗試，特別是數學工具的操作，應指導學生不斷練習，以達到解決問題的目的。

2.教學環境。教學模式依托數學工具改造數學內容，借助計算機房或計算器等工具進行教學。

（1）合理的分組。問題解決學習不是個人能夠完成的行為，需要借助小組的力量。所以，問題解決教學首先應對學生進行分組，按照學生的認知水平合理搭配小組成員，每組都安排學習能力較強的組長和組織能力較強的組長兩名。

（2）借助數學工具改造數學內容。目前，大多數中職校使用的數學教材是省內統編教材，省內統編教材主要采用以知識為主的邏輯體系編制，按照學生的認知規律呈現，已經具有教學功能。但教材中的知識點有所減少，如：函數的周期性判斷、單調性判斷；有些知識已經被刪除，如：復數、函數最值問題。這樣，使得現有的中職數學教材存在知識體系不完整的情況，不利于學生數學素養的培養和數學認知能力的形成。另外，現有的數學知識系統在講授的過程中，仍然存在由于學生的數學基礎薄弱，導致學習效率降低的問題。

數學“工具性”教學模式則需要利用數學工具改造數學解題過程。

這樣的例題表述方式不同于純粹的數學推理。降低數學推理過程給學生帶來的難度，從而，提高數學學習興趣和學習效益。

（3）中職學校數學工具教學的條件分析。一個機房一天可以容納4～8個班級的數學課，5個機房一天可以容納20～40節數學課教學，操作教學模式所使用的教學工具不僅僅是數學軟件，還要使用計算器、對數表等非計算機房的計算工具。一個學年的數學課程，一所中等規模的中等專業學?；究梢詽M足實用數學課程教學的要求，同時，還不影響技能訓練的正常進行。此外，江蘇省中等職業學校數學教材都配有計算器，可以保證操作教學模式的教學需要。

3.學生。操作教學模式是尊重學生主體的模式，它要求教師相信學生能夠借助工具解決問題，只需提供過程中的指導和傳授適當的知識及工具的操作方法。這種模式和傳統的教學模式一樣，都要求學生有較強的自主意識和積極主動參與的熱情。由于這種模式側重于動手操作，順應了中職生感性思維優于理性思維的特點，更能在形式上讓中職生接受，實踐表明，得到大多數學生的歡迎。

四、數學工具下中職數學問題解決教學模式的反思與探索

（一）數學教學觀的沖突

傳統的數學教學觀認為，數學就是通過應用數學公式、定理和方法進行邏輯演繹的科學，借助數學工具進行操作的教學不是數學教學。持有這種觀念的教師，首先，忽略了中職生就是傳統數學教學觀的失敗者，中職數學教育不能再讓他們飽嘗這種失敗感，而是要將他們從這種失敗感中解救出來。其次，數學工具是學習現代科技必不可少的工具，掌握這些工具是現代人必須的技能，中職生也不例外。

（二）這種模式并不適用于所有教學內容

任何教學模式都不會適用于一切內容。教學問題解決教學模式對于概念性較強的內容并不適用。如集合的概念，適合傳統的教學模式，不宜運用數學工具。所有的概念教學，可以借助工具幫助理解，但不能被工具替代。

（三）“工具性”教學模式改變了課時的分配

如三角函數一章，傳統的教學需要18學時，操作教學模式由于可以借助工具操作出任何三角函數的圖像，因而，函數的所有性質及問題都迎刃而解，導致教學課時只需要6學時，可以極大地提高教學效率。在教學中可以增加應用性問題的學習，提高學生數學化建立模型，并借助工具解決問題的能力。

[1]羅海霞.中職生數學記憶情況調查及分析[J].職教通訊，2014（27）：31-35.

[2]羅海霞.中職生數學應用意識調查及分析[J].職教通訊，2014（36）：30-33.

[3]羅海霞.中職生數學思維縝密性調查及分析[J].職教通訊，2015（24）：29-32.

[4]王光生，何克抗.基于信息技術數學問題解決教學策略[J].開放教育研究，2009，15（2）：37-43.

[5]黃偉.綜合課程實施中教學模式的構建[J].課程教材教法，2004，24（2）：45.

[責任編輯蔣云柯]

2016年第三期江蘇省職業教育教學改革研究課題“數學工具促進中職校數學問題解決教學的實踐研究”（項目編號：ZYB10）

羅海霞，女，江蘇省連云港中等專業學校高級教師，主要研究方向為中等職業學校數學教育。

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1674-7747（2017）09-0032-05