三角、向量綜合卷

一、填空題

1.sin25π6+cos25π3+tan（-25π4）=.

2.已知函數(shù)y=cosx與y=sin（2x+φ）（0≤φ<π），它們的圖象有一個(gè)橫坐標(biāo)為π3的交點(diǎn)，則φ的值是.

3.設(shè)a、b是兩個(gè)不共線向量，AB=2a+pb，BC=a+b，CD=a-2b，若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為.

4.已知|a|=2|b|，|b|≠0且關(guān)于x的方程x2+|a|x-a·b=0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是.

5.在ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則AP·DM的取值范圍是.

6.若函數(shù)f（x）=x2+2xtanθ-1在[-1，3]上為單調(diào)函數(shù)，則θ的取值范圍.

7.已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ），g（x）=3cos（ωx+φ），若對(duì)任意x∈R都有f（π3+x）=f（π3-x），則g（π3）=.

8.在△ABC中，已知tanA=14，tanB=35，若△ABC最大邊的長(zhǎng)為17，則其最小邊的長(zhǎng)為.

9.在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，則BC等于.

10.在△ABC中，AB=2，AC=1，D為BC的中點(diǎn)，則AD·BC=.

11.已知函數(shù)y=sinx+acosx的圖象關(guān)于直線x=5π3對(duì)稱，則函數(shù)y=asinx+cosx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.

12.存在x∈[0，2π]，使（4-m）sin（x-π3）-（2m-3）=0成立，則m的取值范圍是.

13.在△ABC中，AB=1，AC=2，O為△ABC外接圓的圓心，則AO·BC=.

14.關(guān)于x的不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2的解集是全體實(shí)數(shù)，則a的取值范圍是.

二、解答題

15.已知銳角△ABC中的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C.

（1）設(shè)BC·CA=CA·AB，求證：△ABC是等腰三角形；

（2）設(shè)向量s=（2sinC，-3），t=（cos2C，2cos2C2-1），且s∥t，若sinA=13，求sin（π3-B）的值.

16.在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，

且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

（1）求A的大小；

（2）若sinB+sinC=1，試判斷△ABC的形狀.

17.已知函數(shù)f（x）=sin（3x+π4）.

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若α是第二象限角，f（α3）=45cos（α+π4）cos2α，求cosα-sinα的值.

18.某海上有四個(gè)旅游島嶼A，B，C，D，D在A的正東方向，距A 10海里，C在A的北偏東45°方向，在D的北偏東θ方向（sinθ=55（θ∈（0，π2）），B在C的正西方向，BD=2010海里.

（1）一游艇從A到C行駛了1小時(shí)，求游艇的速度；

（2）求AB兩個(gè)島嶼之間的距離.

19.已知函數(shù)f（x）=m（sinx+cosx）-4sinxcosx，x∈[0，π2]，m∈R.

（1）設(shè)t=sinx+cosx，x∈[0，π2]，將f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式g（t），并求出t的取值范圍；

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥0對(duì)所有的x∈[0，π2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）若關(guān)于x的方程f（x）-2m+4=0在[0，π2]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

20.已知兩個(gè)不共線的向量a，b的夾角為θ，且|a|=3，|b|=1，x為正實(shí)數(shù).

（1）若a+2b與a-4b垂直，求tanθ；

（2）若θ=π6，求|xa-b|的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值，并指出向量a與xa-b的位置關(guān)系；

（3）若θ為銳角，對(duì)于正實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程|xa-b|=|ma|有兩個(gè)……