三角化簡求值的技巧例說

三角函數在高考中通常以中低檔題型出現，難度不大，但由于三角公式的特殊性，解題中往往也涉及一些小的變換技巧，如果處理得當，往往可以事半功倍，快速而準確地得到正確結論.通常情況下，三角變換應從“角度、函數、常數、次數、結構”等幾方面著手解決.

一、三角變換，角為先鋒

三角函數作為一種特殊函數，其“角”的特殊性不容忽視，因此我們在三角函數恒等變換中，應該首先注意角的形式，從統一角的角度出發，往往能夠達到事半功倍的效果.

例1若0<α<π2，-π2<β<0，cos（π4+α）=13，cos（π4-β2）=33，則cos（α+β2）=.

解析：∵cos（π4+α）=13，0<α<π2，

∴sin（π4+α）=223，

又∵cos（π4-β2）=33，-π2<β<0，

∴sin（π4-β2）=63，

∴cos（α+β2）=cos[（π4+α）-（π4-β2）]

=cos（π4+α）cos（π4-β2）+sin（π4+α）sin（π4-β2）

=13×33+223×63=539.

點評：（1）解決三角函數求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示.①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.

（2）常見的配角技巧：2α=（α+β）+（α-β），α=（α+β）-β，β=α+β2-α-β2，α=α+β2+α-β2，α-β2=（α+β2）-（α2+β）等.

（3）常見互余和互補的角①常見互余的角：π3-α與π6+α；π3+α與π6-α；π4+α與π4-α等.②常見互補的角：π3+θ與2π3-θ；π4+θ與3π4-θ等.

二、名稱變換，乃是重點

三角函數作為一類特殊的函數，其六種三角函數（當今教材要求重點掌握正弦函數、余弦函數、正切函數）之間有著密切的聯系，因此，充分注意函數之間的關系，是三角函數變形的另一個重點.

例2設α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，則角α，β之間的關系為β=.

解析：由tanα=1+sinβcosβ

=（sinβ2+cosβ2）2（cosβ2+sinβ2）·（cosβ2-sinβ2）

=sinβ2+cosβ2cosβ2-sinβ2=1+tanβ21-tanβ2

=tan（π4+β2），

又α∈（0，π2），β∈（0，π2），

∴π4+β2∈（π4，π2），故α=π4+β2，即β=2α-π2.

點評：（1）利用sin2α+cos2α=1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα=tanα可以實現角α的弦切互化.

（2）形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分別稱為關于sinα，cosα的一次齊次式和二次齊次式，對涉及它們的三角變換通常轉化為正切（分子分母同……