平面向量基本定理的應用舉例

平面向量問題一直在高中數學中以數學工具的形式出現，它很好的體現了數學知識間的聯系與遷移，具體到平面向量基本定理，又在向量這部分知識中占有重要地位，是向量坐標法的基礎，是聯系幾何和代數的橋梁，本文從不同角度介紹定理的應用.

一、利用平面向量基本定理表示未知向量

平面向量基本定理的內容：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2，平面內選定兩個不共線向量為基底，可以表示平面內的任何一個向量.

例1在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且BD=2DC，CE=3EA，若AB=a，AC=b，則DE=（用向量a，b表示）.

解析：DE=DB+BA+AE=23CB+BA+14AC=23（a-b）-a+14b=-13a-512b.

點評：（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.

例2在△OAB中，OC=14OA，OD=12OB，AD與BC交于點M，設OA=a，OB=b，用a，b表示OM.

分析：若e1，e2是一個平面內的兩個不共線向量，則根據平面向量的基本定理，平面內的任何向量都可用e1，e2線性表示.本例中向量a，b可作基底，故可設OM=ma+nb，為求實數m，n，需利用向量AM與AD共線，向量CM與CB共線，建立關于m，n的兩個方程.

解析：設OM=ma+nb，則AM=（m-1）a+nb，AD=-a+12b，

∵點A、M、D共線，∴AM與AD共線，∴m-1-1=n0.5，∴m+2n=1.①

而CM=OM-OC=（m-14）a+nb，

CB=-14a+b，

∵C、M、B共線，∴CM與CB共線，

∴m-14-14=n1，∴4m+n=1.②

聯立①②解得：m=17，n=37，∴OM=17a+37b.

二、利用平面向量基本定理確定參數的值、取值范圍問題

平面向量基本定理是向量坐標的理論基礎，通過建立平面直角坐標系，將點用坐標表示，利用坐標相等列方……