三角、向量易錯點剖析

三角、向量是高中數學的重要內容，也是歷年高考考查的熱點之一.由于三角函數和平面向量的知識具有公式繁多、性質獨特、變化靈活、滲透性強等特點，使解決三角函數和平面向量問題較其他的代數問題更趨于隱蔽，解題的過程有更多陷阱，解題的思維更需慎密.因此，解題時稍有不慎，往往會出現增解、漏解，甚至錯解的現象.本文結合具體實例剖析解決三角函數和平面向量問題時常見的錯誤情況，供同學們參考.

一、三角函數易錯點

1.忽視三角函數的定義域而致錯

例1求函數f（x）=sinxcosx1+sinx+cosx的遞增區間.

錯解：設t=sinx+cosx，則sinxcosx=t2-12，于是

f（x）=t2-12（1+t）=t-12=sinx+cosx-12

=22sin（x+π4）-12.

由2kπ-π2≤x+π4≤2kπ+π2，

解得函數f（x）遞增區間為

[2kπ-3π4，2kπ+π4]（k∈Z）.

錯因剖析：上述解法忽略了函數的定義域.因為題目中分母不能為零，即1+sinx+cosx≠02sin（x+π4）≠-1x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π.

所以函數f（x）遞增區間為[2kπ-3π4，2kπ-π2）及（2kπ-π2，2kπ+π4]（k∈Z）.

從以上例題可以看出在解分母中含三角函數問題，特別是變形時分母發生變化后一定要注意函數的定義域，所求解是不是符合原函數的定義域.

2.忽視三角函數的有界性而致錯

例2已知sin2α+sin2β+cos（α-β）=2，求sinα+sinβ的取值范圍.

錯解：令t=sinα+sinβ，則t2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ①

又sin2α+sin2β+cos（α-β）=2②，

由①②得：t2=2sinαsinβ-cos（α-β）+2

=-cos（α+β）+2，

∴1≤t2≤3，∴-3≤t≤-1或1≤t≤3.

錯因剖析：由已知

cos（α-β）=2-sin2α-sin2β

=2-1-cos2α2-1-cos2β2

=1+12（cos2α+cos2β）

=1+12{cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]}

=1+12[cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）+cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）]

=1+cos（α+β）cos（α-β），

∴cos（α-β）[1-cos（α+β）]=1，

∵1-cos（α+β）≥0，∴0

∴1-cos（α+β）≥1，-1≤cos（α+β）≤0，

∴t2=2-cos（α+β）∈[2，3]，

∴-3≤t≤-2或2≤t≤3.

本題在條件中隱含了-1≤cos（α+β）≤0，故在三角變形中不挖掘出這個條件就會造成錯誤.

3.忽視三角函數的單調性而致錯

例3已知α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，求α+β的值.

錯解：∵α，β∈（0，π2），且cosα=55，cosβ=1010，故sinα=255，sinβ=31010，

又∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=255×1010+55×31010=22.

由α，β∈（0，π2）知α+β∈（0，π），所以α+β=π4或α+β=3π4.

錯因剖析：由于正弦值為22的角在（0，π）上不唯一，才造成兩解.正確的解法是取余弦，因為余弦函數在（0，π）上是單調遞減的，這樣才不會擴大解集.

因為cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=55×1010-255×31010=-22.由α+β∈（0，π），且余弦函數在（0，π）上是單調遞減，所以α+β=3π4.

4.忽視條件等式對三角函數的角或值……