求解平面向量問題何時用坐標法

在處理平面向量問題時，若幾何圖形特殊（如正方形，等邊三角形等），易于建系并寫出點的坐標，則考慮將向量坐標化，一旦所求向量用坐標表示，則問題往往迎刃而解.

常見的可考慮建系的圖形：關于向量問題，一旦建立坐標系并成功寫出相關點的坐標，則問題常常迎刃而解.但難點是如何甄別一道題適合使用建系的方法求解.如果你遇到以下圖形，則可嘗試建系的方法，看能否把問題解決.

1.具備對稱性質的圖形：長方形，正方形，等邊三角形，圓形.

2.帶有直角的圖形：直角梯形，直角三角形.

3.具備特殊角度的圖形（30°，45°，60°，120°等）.

例1（2017年高考課標II，理12）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA·（PB+PC）的最小值是.

解析：以BC為x軸，BC的垂直平分線AD為y軸，D為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則A（0，3），B（-1，0），C（1，0），

設P（x，y），所以PA=（-x，3-y），PB=（-1-x，-y），PC=（1-x，-y），

所以PB+PC=（-2x，-2y），

PA·（PB+PC）=2x2-2y（3-y）

=2x2+2（y-32）2-32≥-32，

當P（0，32）時，所求的最小值為-32.

點評：平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據平面圖形的特征直接進行判斷；二是“數化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.

例2（2016年高考四川理數）在平面內，定點A，B，C，D滿足|DA|=|DB|=|DC|，DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2，動點P，M滿足|AP|=1，PM=MC，則|BM|2的最大值是.

解析：由已知易得∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°，|DA|=|DB|=|DC|=2.則A、B、C在以D為原點，直線DA為x軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（-1，-3），C（-1，3）.

設P（x，y），由已知|AP|=1，得（x-2）2+y2=1，又PM=MC，

∴M（x-12，y+32），∴BM=（x+12，y+332），

∴|BM|2=（x+1）2+（y+33）24，它表示圓（x-2）2+y2=1上點（x，y）與點（-1，-33）距離平方的14（如圖），

∴（|BM|2）max=14（32+（-33）2+1）2=494.

點……