在構建數學模型中深化對知識本質的理解

林雪霖

（長樂市洞江小學，福建長樂350200）

在構建數學模型中深化對知識本質的理解

林雪霖

（長樂市洞江小學，福建長樂350200）

在小學階段，數學模型的表現形式為一系列的概念系統(tǒng)，算法系統(tǒng)，關系、定律、公理系統(tǒng)等。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。從數學教育層面分析，數學模型關注的不僅僅是結果，更多的是過程。在建模的過程，通過豐富的表象，從特定的生活原型提煉出數學問題，引導學生經歷觀察、操作、對比、分析等過程，用數學的語言表達數學模型，再拓展模型綜合應用，以解決生活實際問題。不僅能使學生在知識、技能方面得到培養(yǎng)，更有思想、方法經驗的積累，集中體現了數學學科的育人價值。

數學模型；豐富表象；經歷過程；拓展應用

所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象、概括地表征所研究對象的主要特征及其關系所形成的一種數學結構。“建模”的過程就是引導學生經歷這個“火熱”的數學思考過程，從而理解教材所呈現出來的“冰冷”的結果，感悟數學知識的本質。然而，模型思想的培養(yǎng)并不能一蹴而就，需要教師們在教學活動中，引導學生挖掘隱藏在客觀事物背后的數學規(guī)律，在解決問題的過程中，不斷調整、反思、積累屬于學生自己的“數學化”“再創(chuàng)造”，學會問題解決與實踐創(chuàng)新。下面，筆者針對如何在構建數學模型中深化對知識本質的理解，結合一些具體教學案例，談談自己的思考。

一、豐富表象，在模型體驗中感悟本質

數學知識的本質，不是依賴單純的課堂講解讓學生去掌握。模型思想作為一種思想要真正使學生有所感悟需要經歷一個長期的過程。在教學活動中，教師要注意根據學生的年齡特征和不同學段的要求，抓住知識的本質，多側面、多維度給學生創(chuàng)設合適的教學情境，提供豐富的表象啟發(fā)學生思考，讓學生在參與模型體驗的同時，感悟知識的本質，積累思維和實踐的經驗，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

比如數的概念，日常生活中使用最多的計數方法——十進制計數法就是表示數的一個基本模型，它也是整數四則單項運算的基礎。為了加深對“十”這個計數單位的體會，教師們可以設置一個比眼力的小游戲，要求：只給2秒鐘的時間觀察，看誰能快速說出小方塊的個數。先出現第一行方塊（見圖1），2秒鐘的時間很快，學生根本來不及數就隱去了。這時再出現第二行方塊（見圖1），引導學生體會到這樣擺一眼就能看出方塊的個數，體驗10的作用，突出對10有需求。這樣讓學生在第一次認識10的時候就留下深刻印象。通過這樣的活動能培養(yǎng)學生的數感，夯實對“十進制計數法”模型的體驗。

圖1 1個十

以《100以內數的認識》為例，教學目標除了認識數的意義（數學意義，現實意義）；還有讀寫：感知十進制、位置值。教師們在教學中要重視引導學生經歷從現實情景抽象出數的過程，讓學生從量或形的視角，去觀察、把握周圍的現實事物，深入感知“位值”“數級”。如為了體會“33”這個數中兩個“3”所代表的數值是不同的，可以設計一個循序漸進的過程，建構數概念的模型。先從實物數量過渡到符號表示——畫圈，緊緊抓住“怎樣用符號（畫圈）表示班級學生的人數”這個具有生成性和結構性的現實問題，引導學生逐步建構數學圖像語言，即有結構地畫出33個圈。在畫圖活動中，教師讓每一位學生動手實踐，在操作中體驗、感悟。當然這種具體、半形象的教學情境，只停留在操作表面。接著，在畫47個圈這一環(huán)節(jié)，教師不再讓學生實際動手畫，而是要求學生在頭腦中想象“47個圈該怎么畫、54根小棒該怎么擺？”當學生在頭腦中形成各種具體表象后，再過渡到借助教學模型，如計數器、方格圖，這些模型、半抽象情境教學，潛移默化中豐富學生的數感，從多個方面抓住數學知識的本質，感受位值模型的好處。不僅到第二學段認識較大的數能水到渠成，而且這種層次性認識客觀世界的獨特方式，是每個社會公民無論從事何種職業(yè)都不可或缺的基本素養(yǎng)。

二、經歷過程，在建模中把握本質

現實生活中有這樣的例子，有人問一個小學生：“米是從哪里來的？”小學生回答：“米是從米缸中來的。”在教學中也有類似的例子。反思教師們的教學，經常出現重結果、輕過程的現象。教師用自己的理智代替學生的朦朧，不注重學生探索完善這個框架的過程，建立模型的前半部分常常是匆匆而過直奔主題。造成的惡果是，學生對概念的來源不清楚，對知識體系的本質不清晰，只知其然，不知所以然，對知識的掌握更多是靠記憶，只會復制例題，不會創(chuàng)新應用。而模型思想的構建過程是一個極其重要的抽象過程，這也是極富數學營養(yǎng)的過程，它有利于創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)，恰好彌補了這個不足。因此，教師們在建模的過程要重視數學意識、數學思想方法、數學思維方式等數學素養(yǎng)的培養(yǎng)。大致可分為提取現實問題——分析數學信息——建立模型——求解模型——驗證模型——應用模型六個步驟。

以數學廣角中的“烙餅問題”為例，教師創(chuàng)設情境：來客人，一張鍋每次最多烙2張餅，每張餅需要烙兩面，每面需要3分鐘，烙好27張餅最少需要多少分鐘？顯然這是一個復雜問題，大多數學生會感到很困擾，無從下手，而解決問題模型不應該是教師講給學生的，而應該是讓學生自己悟出來的。教師就要把自己的思維有意識地退回與學生相同的水平上，感受困惑，和學生一起經歷探究模型的過程。最后形成簡化意識：這個問題的難點是什么？烙的餅太多了，能不能把這個問題轉化為一個簡單的問題呢？烙一張最少需要多少時間？烙2張？使學生明確要解決的問題：一共要烙3張餅，怎樣烙花費的實踐最少？先獨立思考再小組討論交流不同方案。在探索更優(yōu)方案時，可以這樣啟發(fā)引導：在烙第3張餅時，本來一次可以烙兩張餅的鍋現在只烙一張，是不是浪費時間了呢？想一想有沒有更好的方案？也可以讓學生用硬幣、課本、或寫著“正”“反”兩字的橡皮擦、圓片來代表餅，動手試一試，并把實踐結果記錄下來。在優(yōu)化的過程體會到省時的關鍵在于充分利用了鍋的空間。在教師的組織參與下，學生從具體的計算（數學思維最顯著的方式）出發(fā)，在計算的過程中，使學生感悟運算的本質（算理），這也是積累最正確的思考問題經驗的主要途徑之一。最后通過反思交流，得出最少時間的數學模型：偶數張餅——2張時間：6分×（張數÷2），奇數張餅——3張時間：9分+6×［（張數-3）÷2］。像這樣通過把復雜的問題簡單化、條理化（計算、分析、推理），達到直觀化的目的，引導學生充分經歷從數學原型到數學模型的創(chuàng)造過程。

三、拓展模型，在應用中強化本質

人類通過數學模型搭起了數學與現實世界間的橋梁，使數學走進了生活，產生了巨大的效益。在建模過程中，要引導學生自覺主動地從數學的角度探索這一知識在實際中的應用價值，拓展模型外延，會思考問題、解決問題，找出已有知識與待解決問題的本質相同、相似之處，給予學生充足的時間、空間來展開聯想，培養(yǎng)學生“預知結果”和“探究成因”的能力。

以“雞兔同籠”問題模型為例，他的教學價值取向是什么呢？回顧這個教學過程，學生剛開始是在一個朦朧的思維狀態(tài)下憑直覺（畫圖、列表）解決問題，并在這個過程中感悟運算方法的道理。隨著幾個一類簡單問題的解決，當原有的方法及用起來十分不便時，他們這種直覺的方法有了邏輯，不得不創(chuàng)造新的方法，既先都看作雞畫出來，結果和給定的條件比較，少了幾條腿，再把少的腿添回去，獲得新的經驗即假設法，使雞變成兔抽象出新方法，思維也逐漸地清晰和深刻。通過具體的問題抽象提煉構建起相應的數學模型，再組織學生應用模型解決生活實際問題，提高數學應用意識。例如解決生活中的問題：（1）小明和媽媽恰好花100元買了10本書，單價有8元一本和13元一本的兩種，各買了幾本？（2）六年級參加植樹，男生和女生有36人，其中男生人數是女生的3倍，男女生各有多少人？（3）六年級參加植樹，男生和女生有36人，其中男生人數的是女生人數的2倍，男女各有幾人？解決這些問題可以嘗試假設法，就是通過對原數學問題數據適當的改變（雞看作兔，或反之），然后根據題中的數量關系進行計算，再根據計算所得數據與原數據的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決，其本質屬于小學階段常用的一種思想方法——轉化。像這樣不斷豐富和拓展模型的外延，是學生學習數學最有效的動力，能增強學生的發(fā)散思維能力。

［1］劉勛達.小學數學模型思想及培養(yǎng)策略研究［D］.武漢：華中師范大學，2013.

［2］魏雪峰，崔光佐.小學數學問題解決認知模型研究［J］.電化教育研究.2012（11）.

（責任編輯：陳志華）

福建省教育科學“十二五”規(guī)劃2015年度課題“學本課堂理念下探究性學習的策略研究”（項目編號：FJJK15-351）。