橢圓問題 定義先行

■河南省潢川縣高級中學高三(24)班 曹 婧

同學們求解橢圓問題時,莫忘橢圓定義。橢圓定義,能讓我們化難為易,化繁為簡,輕松解題,可謂橢圓問題,定義先行。

一、利用定義求橢圓方程

(2)已知圓M:(x+1)2+y2=1,圓N:(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并且與圓N內切,圓心P的軌跡為曲線C,則曲線C的標準方程為____。

解析：(1)橢圓=1的焦點為(0,-4),(0,4),即c=4。

(2)由已知得:圓M的圓心為M(-1,0),半徑r1=1;圓N的圓心為N(1,0),半徑r2=3。

設圓P的圓心為P(x,y),半徑為R。

因為圓P與圓M外切并且與圓N內切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4。

由橢圓的定義可知,曲線C是以M、N為左、右焦點,長半軸長為2,短半軸長為 3的橢圓(左頂點除外),其方程為1(x≠-2)。

評注:解決此題的關鍵是妙用橢圓的定義,此種解法最大的好處是可以減少計算量。

二、利用定義求解焦點三角形的有關問題

解析：(1)由橢圓定義知,|PF1|+|PF2|=2a,故△PF1F2的周長為|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16。

評注:橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”,可利用橢圓定義求其周長,也可利用橢圓定義和余弦定理求|PF1|·|PF2|,還可通過整體代入求其面積。

三、利用定義求與橢圓有關的最值問題

設F1、F2分別是橢圓1的左、右焦點,P為橢圓上任一點,點M的坐標為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為_____。

解析：由題意知|PF1|+|PF2|=10,即|PF1|=10-|PF2|,所以|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|。

由于點M在橢圓外,連接MF2并延長交橢圓于P點,此時|PM|-|PF2|取最大值|MF2|。

|PM|+|PF1|的最大值為10+|MF2|=15。

評注:利用橢圓定義,可以將其中一個焦半徑用另一個焦半徑表示,以便更好地從圖形中發現取得最值時P點的位置。