圓錐曲線中求參數(shù)范圍的幾種途徑

■湖北襄陽(yáng)五中高三(27)奧理班 吳一希

編者的話：在學(xué)習(xí)的過程中,你一定會(huì)遇到許多問題,也需要解決這些問題,而在解決問題的過程中,如果能深入一些、細(xì)致一些,就會(huì)有新的發(fā)現(xiàn),把你的發(fā)現(xiàn)寫出來(lái)就是一篇論文。希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中善于發(fā)現(xiàn)和總結(jié),同時(shí)也希望同學(xué)們把論文寄給我們。電子信箱:xuexifaxian@126.com。

解三角形是高中數(shù)學(xué)的基本點(diǎn)之一,它經(jīng)常與三角函數(shù)、平面向量等綜合考查。在解三角形的過程中,正弦定理和余弦定理是最常用的兩個(gè)定理,本文就來(lái)談?wù)務(wù)⒂嘞叶ɡ碓诮馊切沃械膽?yīng)用。

最近老師在復(fù)習(xí)《圓錐曲線》中,專門進(jìn)行了《如何求參數(shù)的范圍》的專題學(xué)習(xí)。平時(shí)學(xué)習(xí)中面對(duì)求參數(shù)范圍這類問題時(shí),不少同學(xué)往往感到困難重重,不知如何下手。如果我們能挖掘題目條件,尋找適當(dāng)?shù)牟坏汝P(guān)系,從而建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組),問題就迎刃而解。下面通過幾則很有說(shuō)服力的例子研究求參數(shù)范圍的幾種途徑。

途徑一：應(yīng)用判別式建立不等關(guān)系

已知拋物線y2=2px(p＞0)上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱,如圖1,求實(shí)數(shù)p的取值范圍。

圖1

解：設(shè)該拋物線上關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的兩點(diǎn)分別為P(x1,y1)、Q(x2,y2),則依題設(shè),直線PQ的方程為y=x+b,聯(lián)立方程得?y2-2py+2pb=0,即y1,y2是該方程的兩個(gè)不同的根,Δ=4p2-8pb＞0。

故p-2b＞0。①

感悟:若題設(shè)中給出直線(或曲線)與曲線有公共點(diǎn)或無(wú)公共點(diǎn)時(shí),可以把直線方程(或曲線方程)與曲線方程聯(lián)立起來(lái),消去某一個(gè)未知數(shù),得到所含另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程,就能利用判別式建立起所含參數(shù)的不等式。

途徑二：根據(jù)曲線的范圍建立不等關(guān)系

設(shè)橢圓=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)為F1,F2,若橢圓上存在一點(diǎn)P,使=0,求橢圓的離心率e的取值范圍。

依據(jù)題意,P點(diǎn)在橢圓上,但不在x軸上,故0≤＜a2。

于是0≤2c2-a2＜c2?＜1。故e∈

感悟:圓錐曲線上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)是有界的,通過研究橫、縱坐標(biāo)的有界性,就可以找到變量間的不等關(guān)系。

途徑三：挖掘曲線的隱含的不等關(guān)系

設(shè)F1,F2分別是橢圓=1(a＞b＞0)的左,右焦點(diǎn),若在其右準(zhǔn)線l:x上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2,則橢圓的離心率的取值范圍是( )。

圖2

解法1：如圖2所示,設(shè)P,t∈R,F1(-c,0),F2(c,0),則依題意有|F1F2|=|PF2|,得2c= ,化簡(jiǎn)整理得:t2=,由t2≥0得2c2-b2≥0,即2c2≥a2-c2。

解法2：如圖2,設(shè)右準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為H,則|PF2|≥|HF2|。又因?yàn)閨F1F2|=|PF|,所以|FF|≥|HF|,即2c≥-c?3c2≥a2,故e2≥。

由上知答案為D。

感悟:一些特殊曲線,它們自身包含了一些不等關(guān)系。如橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)大于短軸長(zhǎng),也大于焦距長(zhǎng),雙曲線的實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)小于焦距長(zhǎng)。一些點(diǎn)位于曲線內(nèi)部或外部時(shí),滿足一定的不等關(guān)系。當(dāng)然在有些情況下,不等關(guān)系比較隱蔽,只有認(rèn)真地分析題設(shè)中的條件與結(jié)論,才能找到需要的含參不等式。