六個角度判斷充要條件

■甘肅省白銀市第一中學 胡貴平

充要條件的概念及其判斷較為抽象,理解起比較困難,同學們初學時常容易出現混淆條件與結論及解題方法呆板、轉化不靈等問題,從而感覺無從下手。本文從六個角度強化對三個條件的理解,從集合的角度、等價轉化的角度、命題的角度、條件與結論的角度、傳遞關系的角度、電路圖的角度進行判斷,并舉例分析,以供參考。

一、從集合的角度判斷

對于充分條件、必要條件的判斷,可以借助于集合之間的包含關系來判斷,即設滿足條件p的對象組成集合A,滿足條件q的對象組成集合B,則可以從表1來判斷。

表1

上面這個表格可以簡記為:小集合可以推出大集合,則小集合是充分條件,大集合是必要條件,從而化繁為簡。

點評:這類問題解決的方法是:先將滿足p,q的條件寫成集合的形式,再由集合之間的包含關系,得出p,q之間的條件關系。

使p:2x2-5x-3≥0成立的一個充分不必要條件是____。

解：2x2-5x-3≥0成立的充要條件是x≤-或x≥3,即∪[3,+∞),根據上表,可知只要找出A集合的一個真子集即可,所以可填x＞4。

點評:本題是找p成立的一個充分不必要條件,這樣的條件實際上是不唯一的。同樣我們從集合的角度來看,找它的一個充分不必要條件即求A集合的真子集,而這樣的真子集也不唯一。

二、從等價轉化的角度判斷

對于條件和結論含否定的充分必要條件判斷問題,若直接判斷有困難時,一般利用等價轉化的方法。已知p:x2-8x-20＜0,q:x2-2x+1-m2＜0,若﹁p是﹁q的必要條件,求實數m的取值范圍。

解：﹁p是﹁q的必要條件?q是p的必要條件。設命題p、q對應的集合分別為A、B,則有:A={x|-2＜x＜10},B={x|(x-1)2＜m2}={x|(x-1-m)(x-1+m)＜0}。

①m≥0時,B={x|1-m＜x＜1+m}。

因為A?B,所以1-m≤-2＜10≤1+m,所以m≥9。

②當m＜0時,B={x|1+m＜x＜1-m}。

因為A?B,所以1+m≤-2＜10≤1-m,所以m≤-9。

綜上,m的范圍為m≥9或m≤-9。

點評:常見的轉化有:﹁p是﹁q的必要不充分條件?﹁q是﹁p的充分不必要條件?p是q的充分不必要條件;﹁p是﹁q的充要條件?p是q的充要條件等。

三、從命題的角度判斷（見表2）

表2

已知p:-1≤x≤1,q:x2-2x+1-m2≤0,且﹁p是﹁q的必要而不充分條件,則實數m的取值范圍是____。

解：若﹁p是﹁q的必要而不充分條件,則q是p的必要而不充分條件,即p是q的充分而不必要條件。

點評:對于那些帶有否定性語言的命題,可利用“互為逆否命題的兩命題同真假”這一等價關系,先將它轉化為肯定型的等價命題,再根據原命題和逆命題的真假判斷。

四、從條件與結論的角度判斷（見表3）

表3

若m,n為實數,則使mn(m-n)＞0成立的一個充要條件是( ),其成立的一個充分而不必要條件是( )。

A.n＞m＞0 B.n＜m＜0

點評:特別要注意,若p?q,則有以下說法是等價的:①p是q的充分條件;②q是p的必要條件;③p的一個必要條件是q;④q的一個充分條件是p。

五、從傳遞關系的角度判斷

充分必要條件具有傳遞性,對于較復雜的關系,?？衫梅枴?”、“?”進行傳遞,根據這些符號所組成的圖示得出結論。

設A是C的充分不必要條件,B是C的充分條件,D是C的必要條件,D是B的充分條件,則A是B的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分且必要條件

D.既不充分也不必要條件

解：由題設,知A?C,且C?/ A,又B?C,C?D,D?B,由A?C,C?D,D?B,知A?B,但由于C?/ A,知B?/ A,即A是B的充分不必要條件,故應選A。

點評:對于較復雜的連鎖式命題,可利用傳遞性符號,寫出它們之間的關系進行判斷,直觀明了。

六、從電路圖的角度判斷

對于充要條件的理解,還可以借助下面的電路圖來直觀地理解。由開關與電燈亮之間的關系來說明充要條件。表4中A、C為開關,B為電燈。

表4

通過上面的開關與電燈亮的關系,可以直觀地判斷A與B的條件關系。

若p:△ABC中,acosB=b·cosA,q:△ABC為等腰三角形,則p是q的_____條件。

解：p:△ABC中,acosB=bcosA。

因為acosB=bcosA,所以2RsinA·cosB=2RcosAsinB。

所以sin(A-B)=0,A=B。

q:△ABC為等腰三角形。

而q中沒有指明哪兩個角相等,所以不一定有A=B。故有p則有q,而有q則不一定有p,所以p是q的充分不必要條件。

點評:利用電路圖來判斷充要條件時,先將條件轉化成最簡單的形式,再進行判斷:有A則有B,有B不一定有A,則A是B的充分不必要條件;有A不一定有B,有B則有A,則A是B的必要不充分條件;有A則有B,有B則有A,則A是B的充要條件;有A不一定有B,有B也不一定有A,則A是B的既不充分也不必要條件。

以上幾例從不同的角度來判斷充要條件,啟發我們對不同的題型,要使用不同的判別方法,不能教條化,學習中必須靈活地掌握這些方法,才能在解題中充分發揮它們的作用。