求解橢圓最值題方法靈活很容易

■安徽靈璧縣黃灣中學(xué) 王 暉

最值問題是橢圓中的一個難點(diǎn),這是因?yàn)榇祟悊栴}覆蓋的知識面廣,處理問題的方法靈活多變,所需知識的綜合性強(qiáng)。下面我們就一起來探究橢圓中的最值問題,希望對提高同學(xué)們的解題技能能夠有所幫助。

一、基本量的最值

橢圓中的基本量有a,b,c,e,,等 。

解題策略：求解此類問題的常用方法是:(1)建立函數(shù)關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值;(2)利用橢圓定義結(jié)合圖形,將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與線的位置關(guān)系。

橢圓方程為=1(a＞0),求橢圓離心率e的最大值。

解析：設(shè)A2=(a2+1)2,B2=a4+a2+1。

因?yàn)锳2＞B2,所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且C2=A2-B2=(a2+1)2-(a4+a2+1)=a2。則橢圓的離心率e==

當(dāng)a=,即a=1時,e=

圖1

如圖1所示,以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn),過直線l:x-y+9=0上一點(diǎn)P作橢圓,要使所作的橢圓長軸最短,點(diǎn)P應(yīng)在何處?求出相應(yīng)的橢圓方程。

解析：由已知橢圓=1,得其焦點(diǎn)為F1(-3,0),F2(3,0),它們也是所求橢圓的焦點(diǎn),設(shè)F1(-3,0)關(guān)于直線l:x-y+9=0的對稱點(diǎn)為F'(m,n),則由+9=0,解之得m=-9,n=6。

故F'1點(diǎn)的坐標(biāo)為(-9,6),直線F'1F2的方程為x+2y-3=0,則由方程組解得,。x=-5y=4

故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,4)時,|PF1|+|PF2|最小,此時最小值為2a=65。

故a2=45,又c2=9,b2=36。

二、距離的最值

此類問題包括圓上的點(diǎn)到直線的距離,橢圓上的點(diǎn)到某個定點(diǎn)的距離,也包括距離之和等。

解題策略：考慮到橢圓方程的類型和橢圓的第二定義,常用的求解方法有以下三種:(1)利用橢圓的參數(shù)方程,將問題轉(zhuǎn)化為三角形求解;(2)根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是二次方程的特點(diǎn),將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解;(3)利用橢圓的第二定義結(jié)合幾何知識巧妙求解。

如圖2所示,已知點(diǎn)A在圓C:x2+(y-2)2=上移動,點(diǎn)B在以F(0)為右焦點(diǎn)的橢圓x2+ky2=k上運(yùn)動,求|AB|的最大值。

解析：由c2=k-1=)2,得k=4。

故橢圓方程為=1。|AB|的最大值是橢圓+y2=1上動點(diǎn)B(x,y)到圓C的圓心(0,2)距離的最大值與圓的半徑之和。

圖2

設(shè)B到圓心的距離為d,則有d2=x2+(y-2)2=4-4y2+(y-2)2=-3·

因點(diǎn)B是橢圓上的點(diǎn),故-1≤y≤1,即當(dāng)y=時,=

故|AB|max=

圖3

已知橢圓方程為=1,一定點(diǎn)P(1,-1),F是橢圓的右焦點(diǎn),在橢圓上求一點(diǎn)M,使|MP|+2|MF|的值最小。

解析：若是設(shè)M(x,y),先求|MP|+2|MF|,再求最小值則很煩瑣。若從|MF|聯(lián)想到橢圓的第二定義,則可使解題過程大為簡化,達(dá)到簡捷獲解的目的。

容易求出a=2,c=1,e=。設(shè)M在右準(zhǔn)線上的射影是N,則根據(jù)橢圓的第二定義,可得,即2|MF|=|MN|,故|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|。

顯然當(dāng)P,M,N三點(diǎn)共線時,|MP|+|MN|最小。

過P作準(zhǔn)線的垂線y=-1,則由方程組解得

已知橢圓的焦點(diǎn)F1,0)和F(-3,0),離心率。求橢圓上的點(diǎn)2到直線2x+3y+8=0的距離的最大值和最小值。

解析：設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)P(2cosα,sinα),則它到直線2x+3y+8=0的距離為:

三、焦半徑的最值

橢圓焦半徑是指橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,容易得到焦半徑r的取值范圍為:a-c≤r≤a+c。解題策略：設(shè)P0(x0,y0)為橢圓=1上一點(diǎn),則左焦半徑r1=a+ex0;右焦半徑r2=a-ex0,因而有r1+r2=2a。故此涉及橢圓焦半徑最值問題常用的求解方法有以下兩種:(1)利用基本不等式r1r2≤;(2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的函數(shù)y=f(x0)求解。

橢圓=1上有n個不同點(diǎn)P1,P2,… ,Pn,橢圓的右焦點(diǎn)為F,數(shù)列{|PF|}是公差大于的等差數(shù)列,則n

n的最大值為( )。

A.199 B.200 C.198 D.201

解析：a=2,c=1,故(PnF)max=a+c=3,(PnF)min=a-c=1。

又PnF=1+(n-1)×d,故(n-1)d≤2,即≥d＞,解得n＜201。

故n的最大值為200,應(yīng)選B。

如圖4所示,A、B是兩個定點(diǎn),且|AB|=4,動點(diǎn)M到A點(diǎn)的距離是6,線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P,直線l'垂直于直線AB,且B到l'的距離為。現(xiàn)以AB所在直線為x軸,AB的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系。

(1)求證:點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與到直線l'的距離之比為定值;

圖4

(2)若P點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)的距離之積為m,當(dāng)m取最大值時,求P點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：(1)由題意易知A(-2,0),B(2,0)。

因?yàn)閨PA|+|PM|=|PA|+|PB|=6,且|AB|=4,所以P點(diǎn)軌跡為橢圓,易求其方程為=1。

因?yàn)橹本€l':x=正好為橢圓的右準(zhǔn)線,B(2,0)為右焦點(diǎn),所以

(2)m=|PA|·|PB|=9,當(dāng)且僅當(dāng)PA=PB時,m取得最大值9,此時點(diǎn)P為(0,-5)或(5,0)。

圖5

如圖5,P為橢圓=1(a＞b＞0)上任一點(diǎn),F1、F2為其左、右焦點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo),使得|PF1|·|PF2|有最大、最小值。

解析：由橢圓的定義知,|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|≥2,故有|PF1|·|PF2|≤a2。

當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|,即P(0,±b)時,|PF1|·|PF2|有最大值a2。

又知F1(-c,0),F2(c,0),在△PF1F2中,記∠F1PF2=θ,由余弦定理可得4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ,即4c2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|(1+cosθ)。

當(dāng)cosθ=1時,|PF1|·|PF2|的最小值為b2,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (±a,0)。

四、弦長的最值

焦點(diǎn)弦是橢圓眾多弦中的一類特殊弦,易知焦點(diǎn)弦的最大值為2a(長軸),最小值為(通徑)。

解題策略：求過橢圓上一定點(diǎn)的弦長最值,常用方法是設(shè)另一點(diǎn)的坐標(biāo)為(acosθ,sinθ),將問題轉(zhuǎn)化為三角與二次函數(shù)問題;對于斜率一定的弦長最值問題則轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解。

過橢圓=1的頂點(diǎn)B(0,-2)作弦AB,求|AB|的最大值。

解析：設(shè)點(diǎn)A(3cosθ,2sinθ),則有|AB|2=9cos2θ+(2sinθ+2)2=-5sin2θ+8sinθ+13=-5(si n θ-

故當(dāng)sinθ時,|AB|的最大值為。

若直線y=x+t與橢圓x2+4y2=4相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)t變化時,|AB|的最大值為____。

解析：由y=x+t,x2+4y2=4,得5x2+8tx+4t2-4=0,則由弦長公式知:

五、三角形的最值問題

橢圓中三角形類型較多,其中焦點(diǎn)三角形是較特殊的一種,它的周長為定值2a+2c,面積由公式S=b2tan(θ為焦點(diǎn)三角形的頂角)給出。

解題策略：若三角形是焦點(diǎn)三角形,常利用橢圓定義結(jié)合基本不等式求解;若是其他三角形,則利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解。

P為橢圓=1(a＞b＞0)上一點(diǎn),F1,F2為焦點(diǎn),當(dāng)P在什么位置時,△PF1F2的頂角∠F1PF2最大?

解析：設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則:

當(dāng)且僅當(dāng)m=n時,即點(diǎn)P處于短軸端點(diǎn)時,(cosθ)=1,即 ∠F1PF2最大。

過橢圓2x2+y2=2的一個焦點(diǎn)F,作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),求△PQO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值。

解析：設(shè)F為橢圓的下焦點(diǎn),則直線PQ的方程為y=kx-1。又設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)。

當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即k=0時,(S△PQO)max

圖6

如圖6所示,若F是橢圓=1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn),MN為過其中心的一條弦,求S△FMN的最大值。

解析：不妨設(shè)F為右焦點(diǎn)及M(x1,y1),N(x2,y2),則有:

要求S△FMN的最大值,只要求|y1-y2|的最大值。顯然|y1-y2|max=2b。

故S△FMN的最大值為bc。