橢圓化圓巧解高考題

■河南溫縣第一高級中學 尹樹云

眾所周知,圓是特殊的橢圓,相比橢圓來說具有更多優美的性質。通過換元法可將橢圓“化圓”,從而把橢圓問題巧妙地轉化為關于圓的問題,使解題過程更加簡捷,下邊舉例說明,旨在拋磚引玉。

(2011年山東理22)已知直線l與橢圓C:1交于P(x,y)、11Q(x2,y2)兩不同點,且△OPQ的面積S△OPQ,其中O為坐標原點。

(1)證明和均為定值;

(2)設線段PQ的中點為M,求|OM|·|PQ|的最大值。

設Posαinα),Q(sinα,cosα),故=2。

(2013年山東文22)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為

(1)求橢圓C的方程;

(2)A,B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C于點P,設,求實數t的值。

解：(1)求得橢圓C的方程為=1。

(2)在橢圓=1中,可令X2+Y2=1。

通過以上兩道題的展示,希望大家在學習過程中多比對、多思考,會有意想不到的結果等著你。