淺談新課標下高中數學導數問題的幾大熱點

鄧解強

摘 要：有關導數在函數中的應用，主要類型有：求曲線的切線、判斷函數的單調性、求函數的極值和最值、利用函數的單調性證明不等式等，這些類型是高中數學學習本章的重點，也是“新課標”下高考的重點和熱點。導數在函數中的應用，是分析和解決函數問題的有效工具。

關鍵詞：導數 曲線的切線 單調性 極值和最值

導數應用的重要性和廣泛性，我們從每年高考的《考試說明》當中可以充分體會到。有關導數在函數中的應用，主要類型有：求曲線的切線、判斷函數的單調性、求函數的極值和最值、利用函數的單調性證明不等式等，這些類型是高中數學學習的重點之一，也是“新課標”下高考的重點和熱點。由于導數其應用的廣泛性，為解決函數問題提供了一般性的方法，因此在高考中占有較為重要的地位，其考查重點是利用導數求曲線的切線方程、函數的單調性、函數的極值和最值、不等式的證明等問題方面。本文簡要談一下導數在這幾個方面的應用。

一、利用導數求曲線的切線方程

例1：（2016年全國III高考）已知為偶函數，當時，，則曲線在點處的切線方程是_______________。

解：f（x）為偶函數，可得f（-x）=f（x），當x<0時，f（x）=ln（-x）+3x，即有x>0時，時f（x）=lnx-3x，f′（x）=1x-3，可得f（1）=ln1-3=-3，f′（1）=1-3=-2，則曲線y=f（x）在點（1，-3）處的切線方程為y-（-3）=-2（x-1），即為2x+y+1=0。

例2：求在點處的切線方程。

解：設過點的切線的切點為，則切線的斜率為，

又，故，。

即切線的斜率為4或12，從而過點的切線為：

點評：要注意所給的點是否是切點，若是，可以直接利用導數的幾何意義求解；不是則需設出切點坐標，再結合導數的幾何意義、直線的斜率求解。

二、利用導數研究函數的單調性問題

例3：（2016年全國II高考節選）討論函數的單調性，并證明當時，。

解：由得

∵ 當時，

∴在上單調遞增

∴時，

∴ 。

例4：已知函數在上是減函數，求的取值范圍。

解：由題意得， 在上是減函數，在上恒成立，且，即且，。

點評：函數的單調性是函數的重要性質，是高考的熱點問題。若利用定義求解，一般較為復雜，但新教材引入導數以后，則有效地解決了這一問題。利用導數判斷函數單調性的法則為：在區間D上，若，則在D上是增函數；若，則在D上是減函數。反之，若在D內可導，且若在D上是增（減）函數，則一定有。

三、利用導數求函數的極值與最值

例5：函數在處有極值10，求的值。

解：

∵

∴f′（x）=3x2+2ax+b

∵函數f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10

∴ f′（1）=3+2a+b=0， f（1）=1+a+b+a2=10

解得或，當時

f′（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），當時

f′（x）<0， 當x>1時， f′（x）>0，滿足x=1處為極值點

當時，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2

易知在x=1的兩側f′（x）>0，

故x=1不是極值點，應舍去。故只有a=4 ，b=-11滿足題意。

點評：可導連續函數在處的導數是在處取得極值的必要但不充分條件，故需驗證滿足在x=1的兩側單調性相反，即導數異號才為極值點。

例6：

求函數在區間上的最大值和最小值。

解：令化簡為

解得或。其中舍去

又由且，得知函數的單調遞增區間是，同理， 得知函數的單調遞增區間是。

所以為函數的極大值。

又因為。

所以，為函數在上的最小值，為函數在上的最大值。

點評：求函數在某閉區間上的最值，首先需求函數在開區間內的極值，然后，將的各個極值與閉區間上的端點的值、比較，才能得出函數在上的

最值。

四、導數的綜合運用

近幾年高考數學導數命題基本方向沒變，首先用導數研究函數的性質（單調性、極值、最值等），然后用所得到性質綜合處理函數圖像、方程根的分布、不等式等有關問題，這也是教學中的難點，值得注意。

例7：（2015年新課標2理12）設函數是奇函數的導函數，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

解：設g（x）= ，則g（x）的導數為

∵當x>0時，總有xf′（x）0時，g′（x）恒小于0。∴當x>0時，函數g（x）=f（x）x為減函數，又∵函數是奇函數，∴函數g（x）為定義域上的偶函數，又g（-1）=f（-1）-1=0，∴ 函數g（x）的圖象類似如上圖，由數形結合思想可得，不等式f（x）>0?x·g（x）>0?或?0

例8：當時，證明不等式 。

證明：設

可求得其定義域為（-1，+ ∞）。由 （時，）可知，f（x）在（-1，+ ∞）上是增函數。又，∴

即。故對一切都成立。

點評：我們知道函數在某個區間上的導數值大于（或小于）0時，則該函數在該區間上單調遞增（或遞減）。因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以構造函數，用導數證明該函數的單調性，然后再用函數單調性達到證明不等式的目的。即把證明不等式轉化為證明函數的單調性。

導數的廣泛應用，為我們解決函數問題提供了有力的工具。因此，在日常教學中， 遇到函數問題，要有意識引導學生用導數來解決問題，要突出導數的工具性。這樣，學生在參加高考時，才能做到知己知彼、百戰不殆！