數學歸納法的原理、推廣

丁穎

摘 要：數學歸納法是一種常用的論證方法， 歸納公理和最小數原理是數學歸納法的理論依據。將數學歸納法進行推廣可以看作是傳統的數學歸納法的擴充，從而使對數學歸納法的應用范圍更加廣闊。

關鍵詞：數學歸納法 歸納公理 最小數原理 歸納奠基 歸納遞推

一、數學歸納法的原理

1.意大利數學家C.皮亞諾（C.Peano 1858-1932 ）在1889年發表《算術原理新方法》，建立了自然數的公理體系，其中第五條公理是歸納公理。

歸納公理：自然數的某個集合若含1，而且如果含1個自然數a，就一定會含a（a=a+1，即a的后繼），那么這個集合含全體自然數（現代的數學理論中認為自然數包括0）。

最小數原理：設M是自然數集的任一非空子集，則必存在1個自然數m∈M，使對一切n∈M，都有mn。

注：這個原理說明自然數集N的任一非空子集M都有最小數。

2.自然數的歸納公理及最小數原理證明了數學歸納法的正確性，數學歸納法是證明關于自然數n的無限多個命題的重要方法。下面給出數學歸納法的兩種基本形式。

第一數學歸納法：已知一個與自然數有關的命題，如果

（1）當時，成立；

（2）假設時，成立，若成立，

那么命題對所有的自然數n都成立。

證明：（反證法）假設存在自然數n使命題不成立，設這些自然數組成的集合為M且非空，根據最小數原理，M中存在最小數m，顯然m≠1，若m=1，則，而由條件（1）知成立，與已知矛盾。故m≠1，知m≥2，，又因為m是M中的最小者，于是m-1使成立，由條件（2）可知也是成立的，與不成立矛盾，故對所有自然數都成立。

第二數學歸納法：已知一個與自然數有關的命題，如果

（1）當時，成立；

（2）假設時，成立.若也成立，

那么命題對所有自然數都成立。

證明：設使成立的自然數集合為M。因為成立，即，又因為成立，能夠得到成立，所以若，其后繼元。則M=N.故對所有自然數都成立。

注：在解決實際問題時，條件（1）不一定從n=1開始，這時只要將n=1換成n=n0即可，例如：證明多邊形的內角和，n=1時不符合實際，故應從n=3時開始論證。有時條件（1）驗證的n不止一個，甚至多個，在此就不舉例了，故對實際問題要具體問題具體分析。

數學歸納法的中心思想：用有限次的驗證和一次邏輯推理，代替無限次的驗證過程，實現從無限到有限的轉化。而數學歸納法的核心為歸納遞推，從而得出數學歸納法的兩個步驟。

第一步（歸納奠基）：當n=n0時，成立；是驗證命題奠基步的正確性。

第二步（歸納遞推）：假設當n=k（n≤k）時，成立，推出成立，是推證命題正確性的可傳遞性，兩者缺一不可（為什么在應用中說明），同時兩個步驟可以互化，沒有固定的順序，只是在實際學習生活中常常習慣以歸納奠基為第一步，歸納遞推為第二步。

3.數學歸納法的直觀顯示

為了更好地理解數學歸納法，不外乎是“剖析原理，理清脈絡”，為了更好地“剖析”“理清”，可以以直觀圖的形式向大家介紹，將“無形”化為“有形”。

（1）直觀圖一

數學歸納法嚴謹上講是需要對每個命題進行驗證成立，而條件（1）和（2）是相互獨立的。條件（1）是奠基要說明成立，條件（2）是個假言命題，若成立，則有成立，即：若p則q，斷言為如果p存在則q一定存在，但是p是否存在并未給出事實，實際上說的是一種關系，而不是確定。在這里可以比喻為一種生產關系。此時，有一臺功能特殊的加工機，而這臺加工機的功能就是：只要將原料放進去，此加工機就能輸出這個產品：

→加工機→

還是上面所說的問題，有了加工機并不代表有了原料，為了使這個加工機的功能更好，借助條件（1）將作為原料，送進加工機，根據此機的功能便有

加工機的工作原理直接顯示了數學歸納法的嚴密性。

（2）直觀圖二（流程圖解釋）

數學歸納法是學習數學的重要思想方法，中學數學教材為了說清數學歸納法利用多米諾骨牌全部倒下的兩個條件，介紹了數學歸納法的思想基礎，但是骨牌畢竟是有限的，而數學歸納法是有關自然數的命題，自然數是無限的，所以多米諾骨牌不能從無限的角度說明數學歸納法，隨著現代科學技術的發展，我們知道，計算機語言中的流程圖和它的賦值語句則可以從無限的角度說明。

右邊的流程圖可以表示數學歸納法，其中，k=k+1為賦值語句，同一個符號在等式右邊代表相應變量的值，在等式的左邊代表賦值對象。

流程圖中，當k=n0時，判斷正確即為數學歸納法的第一步。

流程圖循環部分是判斷第一次的k+1成立，即指k=n0+1成立，在通過賦值語句k=k+1循環，第二次判斷（k+1）+1正確，即k=n0+2時命題正確。第三次循環k又增加了1，即k=n0+3時，命題正確。

……

這樣的循環可以無限下去，就解決了數學歸納法的無限問題，通過計算機中的流程圖更好地將“無形”的數學歸納法變為“有形”的，更加逼真確切。

通過以上兩個直觀圖將數學歸納法直觀地顯示在眼前，并將數學歸納法的原理通過“有形”的方式體現得淋漓盡致，達到了從無限的角度說明數學歸納法，希望有助于您對數學歸納法的理解。

二、數學歸納法的推廣

數學歸納法是一種非常有用的數學工具，也是一種重要的數學思想。它在論證有關自然數n的無限多命題時十分重要，為了使數學歸納法的應用范圍更加廣闊，進而對數學歸納法進行推廣。

先來看數學歸納法的兩個變形應用。

定理1：設和都是定義在自然數集上的函數，則等式對一切自然數n都成立的充要條件是：

（1）

（2）對一切自然數n都成立。

證明：（充分性）設n為任意自然數，因為（已知）。

=

=

=

=

由上可知，，充分性證畢。

（必要性） 因為，n為任意自然數。則

當n=1時，

當n=n-1時，

于是，顯然成立，證畢。

例1：求證：對一切自然數成立。

證明：設

故。因此原式對一切自然數成立。

注：證明有關自然數的等式的問題，定理1給了我們一種優于數學歸納法的方法。

定理2：若和分別是定義在自然數集上的函數，若他們滿足下列條件：

（1）

（2）對任意自然數n 成立，

則對任意自然數n成立。

證明：設n為任意自然數。因為（已知），故

=

=

=

因為且

所以

故

例2：求證對大于1的自然數都成立。

證明：設n為大于1的自然數

令

當n=2時，

故。由定理2，知對大于1的自然數都成立。

注：證明有關自然數的不等式的問題，定理2給了我們一種優于數學歸納法的方法。

定理3：若是定義在自然數集上的整系數多項式，m能整除的充要條件是：

（1）m整除

（2）m整除對任意自然數n都成立.。

證明：（必要性）因為m能整除，n為任意自然數。

當n=1時，m能整除

而m能整除，從而m能整除。

（充分性）因為m能整除，所以m能整除。故

因此m能整除。

例3：求證能被9整除。

證明：設n為任意自然數且

則當n=1時，能被9整除。

故對一切自然數上式都能被9整除。

注1：證明一些有關整除性的問題，定理3給了我們一種優于數學歸納法的方法。

注2：對于以上所述要指出“一切自然數”是廣義上的自然數集。例如定理2中的應用：n是大于1的自然數。

我們還可以將自然數系的數學歸納法進一步推廣到下有界整數集上，具體看一下：

定理4 設 是與整數有關的一列命題且滿足一下條件：

（1）成立；

（2）成立成立，

則對于任意整數，命題都成立。

證明：為了使的n為一切自然數，則構造函數。

定義此時是與自然數有關的命題，并且滿足

（1）成立；

（2）成立成立。

故對一切自然數都成立，即對整數命題也成立。

注：此定理將自然數集的數學歸納法推廣到了整數集，實質上都是遞推的原理。

總之，數學歸納法在數學學習中是一種很重要的方法，進一步學好數學歸納法不但能夠培養學生的運算能力、數學化能力、觀察能力、解決綜合性問題的能力以及邏輯思維的能力，還能為學好高等數學打下堅實的基礎，因為數學歸納法是初等數學與高等數學銜接的一個紐帶。

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