拋物線的切線在中考數學綜合題中的應用

韓寶玉

摘要：中考數學綜合題是對考生綜合能力的一個全面考察，所涉及的知識面廣，所使用的數學思想方法也較全面.因此，中考數學綜合題的解題策略是把綜合題分離為相對獨立而又單一的知識模塊或方法模塊去思考和探究.

關鍵詞：拋物線；切線；數學

從試題類型上講，中考綜合題大多是以坐標系為橋梁，運用數形結合思想，通過建立點與數即坐標之間的對應關系，一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數問題的解答.

下面筆者就以如何利用拋物線的切線解決中考數學綜合題進行舉例說明.

例1、拋物線 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（-1，0），C（0，2），點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

分析：此題可先借助于待定系數法確定拋物線的解析式，然后求出A、B、C、D各點的坐標，由于點B、C、D為定點，故△BCD的面積為定值，平移直線BC，使之與拋物線相切，切點為點F，則△BCF的面積最大，從而四邊形CDBF的面積最大，求出切點F的坐標，即可確定點E的坐標.

解：把點A（-1，0），C（0，2）的坐標代入拋物線的解析式，有

解得m = ，n = 2∴拋物線的解析式為

配方得 ，∴D（ ，0）.當y = 0時， ，解得 ， ，∴B（4，0）

設直線BC的解析式為y = kx+2，把點B（4，0）的坐標代入直線BC的解析式，有4k+2=0，解得k = ，∴直線BC的解析式為 再設平行于BC的拋物線的切線l的解析式為 ，

則切點F的坐標為方程組 的解，由于拋物線與直線l相切，故方程組有唯一解.代入消元得 ∴Δ=16-4（2b-4）= 0，解得b = 4.

∴ ， ，當x = 2時， ，∴F（2，3）.

∵點E在直線BC上，∴當x = 2時， ，∴E（2，1）.

作FG⊥y軸于點G，則FG=2，OG=3，∵OC=2，∴CG=1，又OD= ，OB= 4，

=

即當E點運動到點（2，1）時，四邊形CDBF的面積最大，最大面積是 .

例2、已知拋物線 經過原點，將拋物線上x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個“W”形狀的新圖象，若直線 與該新圖象恰好有三個公共點，求b的值.

分析：此題亦可先借助于待定系數法確定拋物線的解析式，然后求出A點和拋物線的頂點坐標，進而確定翻折后的拋物線的解析式，由于直線 從左向右上升，故該直線過點A時與圖象恰好有三個公共點，將該直線平移，使之與翻折后的拋物線相切，切點為點E，此時該直線與圖象恰好也有三個公共點，利用判別式法可以確定b的值，也可求出切點E的坐標.

解：∵拋物線 經過原點，∴ ，故k = 1，拋物線的解析式為 ，當y = 0時，

，解得 ， ，∴A（-2，0）.①由于直線 從左向右上升，

故該直線過點A（-2，0）時它與圖象恰好有三個公共點，∴ ，解得b = 1.

② ∴翻折后的拋物線的解析式為：

當直線 與翻折后的拋物線相切時，該直線與圖象恰好也有三個公共點，則切點E的坐標為方程組 的解，由于拋物線與直線相切，故方程組有唯一解.代入消元得 ∴Δ= ，解得b= .綜上，當b的值為1或 時，直線 與該圖象恰好有三個公共點.

判別式法是解決拋物線的切線的有效解題模式和途徑，也是中考數學綜合題的常用解題策略之一，通過以上兩個范例的分析和解答，希望能給讀者解決相關中考數學綜合問題提供一些幫助和啟發.