用代換法求曲線方程和函數(shù)解析式

崔禹

摘要：利用代換法解決函數(shù)解析式和曲線方程問題，是一種常用的數(shù)學(xué)方法。主要利用一般點的坐標(biāo)代換解決看似非常雜亂的圖形變換問題。

關(guān)鍵字：代換法 具體點坐標(biāo) 轉(zhuǎn)換 方程和解析式

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，經(jīng)常會遇到已知圖形或幾何條件，經(jīng)過一系列的轉(zhuǎn)化，變成新的曲線，求解新曲線方程和函數(shù)解析式的問題。如果方法不完善，將會無從下手。其實，在解決曲線方程和函數(shù)解析式的問題上，我們主要是解決曲線上的任一點P（x，y）的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y之間的關(guān)系式。在解決該類問題時，我們可以根據(jù)條件的轉(zhuǎn)化，遵循“要求誰即設(shè)誰”的原則，設(shè)出要求的點的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為已知點的坐標(biāo)，代換到已知方程中，“變未知為已知”，解決實際問題。

一、 函數(shù)圖像對稱問題

1、一個單一函數(shù)有對稱軸的問題

例1 函數(shù)y=f（x）圖像關(guān)于x=2對稱，當(dāng)x<2時，f（x）=x2+2x，

求x>2時，f（x）解析式。

解：設(shè)x>2，則4-x<2，此時（x， f（x））、（4-x， f（x））均在y=f（x）圖像上。

所以，f（x）=（4-x）2+2（4-x）=x2-10x+24

即x>2時，f（x）= x2-10x+24。

同樣可以證明，若函數(shù)f（x）關(guān)于x=a對稱，（即有對稱軸x=a），

則①f（a+x） =f（a-x）

②f（x）= f（2a-x）

③f（b+x） =f（c-x） （其中 a）

2、兩個函數(shù)關(guān)于直線或點對稱

例2 函數(shù)f（x）=log3（x+5），函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=3對稱，求g（x）解析式

解：設(shè)y= g（x）上任一點的坐標(biāo)為（x，y），函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于直線x=3對稱，

則（x，y）關(guān)于直線x=3對稱點（6-x，y）在函數(shù)f（x）圖像上。代入得：

y= log3（6-x +5）= log3（11-x）

即g（x）解析式為：g（x）= log3（11-x）

例3 函數(shù)f（x）=4x+5，函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點（3，4）對稱，求g（x）解析式

解：設(shè)y= g（x）上任一點的坐標(biāo)為（x，y），函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的圖像關(guān)于點（3，4）對稱，則（x，y）關(guān)于點（3，4）對稱點（6-x，8-y）在函數(shù)f（x）圖像上。代入得：

8-y=4（6-x）+5

整理得：y=4x-21

即g（x）解析式為：g（x）= 4x-21

二、 函數(shù)圖像或曲線的平移變換

例4 函數(shù) 圖像向左平移 得g（x）圖像，求g（x）解析式

解：設(shè)y= g（x）上任一點的坐標(biāo)為（x，y），函數(shù) 圖像向左平移 得g（x）圖像，則g（x）圖像向右平移 得 圖像，（x，y）向右平移 得點（x+ ，y）在函數(shù)f（x）圖像上。代入得：y= .

即g（x）解析式為：g（x）=

例5 曲線C1： 按向量=（3，4）平移得曲線C2：，求C2的方程。

解：設(shè)C2上任一點的坐標(biāo)為（x，y）， 曲線C1：按向量=（3，4）平移得曲線C2，則

曲線C2按向量-=（-3，-4）平移得曲線C1，點（x，y）按向量-=（-3，-4）平移得（x-3，y-4）在C1上。代入得：

。

即C2的方程為：

結(jié)論： ①f（x） 向左平移a個單位，得f（x+a）

②f（x） 向右平移a個單位，得f（x-a）

三、 函數(shù)圖像或曲線的伸縮變換

例6 函數(shù)f（x）=sin（2x+4）圖像上每一點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得函數(shù)g（x）圖像，求g（x）解析式。

解：設(shè)y= g（x）上任一點的坐標(biāo)為（x，y），

函數(shù)f（x）=sin（2x+4）圖像上每一點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得函數(shù)g（x）圖像，則函數(shù)g（x）圖像上每一點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得函數(shù)f（x）圖像. （x，y）的對應(yīng)點（ x，y）在f（x）圖像上。

代入得：y=sin[2（ x） +4]=sin（x+4）

即g（x）解析式為：g（x）= sin（x+4）.

例7 曲線C1的方程為：y2=6x，曲線上每一點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得曲線C2，求C2的方程。

解：設(shè)曲線C2圖像上任一點的坐標(biāo)為（x，y），

曲線C1：y2=6x上每一點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得曲線C2圖像，則曲線C2圖像上每一點橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C1圖像. （x，y）的對應(yīng)點（x，3y）在C1圖像上。

代入C1的方程得：（3y）2=6x，

整理得：y2= x

即C2的方程為：y2= x

同樣，可以得到其它的伸縮變換結(jié)論。

總結(jié)：用代換法求曲線方程和函數(shù)解析式，主要“求誰即設(shè)誰”，設(shè)要求的未知的函數(shù)圖像或曲線上一點，根據(jù)題目要求，代換到已知的條件當(dāng)中去，“變未知為已知”，求得最終的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

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3.雷鵬. 圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊.2016（3）：134.