高考數學全國卷不等式選講部分淺談

摘要：近年來，高考數學全國卷在更多的地區推廣使用，對于新增使用全國卷的地區的考生來說需要做好更充分的準備，適應高考數學全國卷的出題方式，考出優異成績。

關鍵詞：高考數學；全國卷；不等式選講

全國卷試卷所涉及的內容限定在考試大綱的范圍之內，幾乎覆蓋高中所學知識的全部重要內容，體現“重點知識重點考查”原則。全國卷分為必做題和選做題。歷年來，高考數學全國卷的選做題都來自選修4的內容，筆者就近幾年的全國卷試題，結合教材，分析選做題第三個，來自選修4—5不等式選講的一些知識點以及解題的技巧等等，希望能給廣大高中生提供有用的價值。

1考點分析解讀

不等式選講是高考的選考內容之一，主要是考查絕對值的幾何意義，絕對值不等式的解法及不等式證明的基本方法。不等式選講特別強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力。

2方法技巧

2.1含有絕對值的不等式的解法

形如 型不等式主要有三種解法：

①分段討論法：利用絕對值符號內式子對應方程的根，講、將數軸分為 ， ， （此處設 ）三個部分，在每個部分上去掉絕對值符號分別列出對應的不等式求解，然后再取各個不等式解集的并集。

②幾何法：利用 的幾何意義：數軸上到點 和 的距離之和不小于（不大于） 的點的全體。

③圖像法：作出函數 和 的圖象，結合圖象求解。

例 已知函數 ， .

（1）當 ，求不等式 的解集.

（2）若 的圖象與 軸圍成的三角形面積大于 ，求 的取值范圍.

解：（1）證明：當 時， 化為

當 時，不等式化為 ，無解；

當 時，不等式化為 ，解得 ；

當 時，不等式化為 ，解得 .

所以 的解集為 .

（2）由題設可得，

所以函數 的圖象與 軸圍成的三角形的三個頂點分別為 ， ， ， 的面積為 .

由題設得 ，故 .

2.2證明不等式的方法

利用代數恒等變換以及放大、縮小是證明不等式的常用方法，例如，比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等。也可以利用數學歸納法來證明不等式。

①比較法：證明不等式最常用的使用差值比較法。其基本步驟是： 作差； 變形； 判斷差的符號； 下結論。其中“變形”是證明的關鍵，一般通過因式分解或配方將差變形為幾個因式的積或配成幾個平方和的形式。有時除了使用差值進行比較之外，還可以使用作商法。

②綜合法：從條件推導到結論的思維方法，它是從已知條件出發，經過逐步推理，最后達到待證的結論，即由因導果。

③分析法：從待證結論出發，一步一步地尋求使結論成立的充分條件，最后到達題設的已知條件或已被證明的事實，即執果索因。用分析法尋找解題思路，再用綜合法書寫，這樣比較有條理，叫分析綜合法。

④反證法：數學中的命題，都有題設（條件）和結論兩部分。當我們證明一個命題時，不直接從題設出發推證結論成立，而是從否定這個命題的結論出發，通過正確、嚴密的邏輯推理，引出一個新的結論，而這個新的結論與題設矛盾（或與已知的定義、公理或定理相矛盾，或自相矛盾），得出原結論的反面不正確，從而肯定原結論是正確的，這種間接證明的方法叫做反證法。

⑤放縮法：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的。

⑥數學歸納法： 當 取第一個值 （例如 ）時，證明命題成立； 假設當 時命題成立，并證明當 時，命題也成立。于是對一切 ，命題都成立，這種證明方法叫做數學歸納法。

例 設 ， ， ， 均為正數，且 ，證明：

（1）若 ，則 ；

（2） 是 的充要條件.

分析：（1）要證明 ，只需要證明 ，展開結合已知條件易證；（2）充要條件的證明需要分為兩步，即充分條件的證明和必要條件的證明，證明的關鍵是尋找條件和結論以及它們和已知之間的聯系.

證明：（1）因為 ， ，由題設 ， ，得 ，因此 .

（2）①若 ，則 ，

即 .

因為 ，所以 .

由（1）得， .

②若 ，則 ，

即 .

因為 ，所以 .

于是 .

因此 .

綜上， 是 的充要條件.

3結束語

全國卷強調“能力立意”，文、理科學生均以知識為載體，以思維能力為核心，全面考查其推理論證、運算、空間想象、數據處理以及應用和創新能力。廣大考生在高考前的數學復習中應精選例題，避免題海戰術，關注在知識、方法、能力上的缺陷，將復習過程轉化為不斷提出問題、解決問題的探索過程，能夠主動對知識、方法進行歸納、概括。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

作者簡介：

陳艷（1993—），女，漢，碩士研究生，單位：西華師范大學

郵寄地址：

四川省南充市順慶區西華師范大學華鳳校區二期。陳艷，15228151061