TI—Nspire圖形計(jì)算器支持下的數(shù)學(xué)探究

房華

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是指在教學(xué)中設(shè)計(jì)的以操作觀察活動(dòng)、問題情境為載體，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、研究問題本質(zhì)的活動(dòng)。探究活動(dòng)的過程是學(xué)生自主探索、合作交流的過程，是在教師的指導(dǎo)下發(fā)揮自我意識(shí)和主觀能動(dòng)性，自主發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程。借助于TI-Nspire圖形計(jì)算器可擴(kuò)大學(xué)生數(shù)學(xué)探究的主題范圍，提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究的效率。

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

第一，了解斐波那契數(shù)列，理解數(shù)列的遞推關(guān)系。

第二，能探索斐波那契數(shù)列和黃金分割比的關(guān)系。

第三，能探索斐波那契數(shù)列相鄰三項(xiàng)的關(guān)系。

二、技術(shù)準(zhǔn)備

一是會(huì)生成遞歸數(shù)列。

二是會(huì)根據(jù)已有數(shù)列生成新的數(shù)列。

三是會(huì)繪制數(shù)列的圖像。

三、探究過程

1.環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入活動(dòng)主題

為了激發(fā)學(xué)生參與研究活動(dòng)的興趣，教師播放《達(dá)·芬奇密碼》中的電影片段，利用電影中斐波那契數(shù)列的出現(xiàn)開頭，創(chuàng)建活動(dòng)情景，引出活動(dòng)主題。

2.環(huán)節(jié)二：合作探究，了解斐波那契數(shù)列及其遞推關(guān)系

問題背景：意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的著作《算盤書》中提出了一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問題。一般而言，兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力。如果一對(duì)兔子每月能生1對(duì)小兔子（一雄一雌），而每對(duì)小兔子在它出生后的第三個(gè)月里，又能生1對(duì)兔子。假定在不發(fā)生死亡的情況下，由一對(duì)初生的小兔子（一雄一雌）開始，第12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子？

問題1：上述兔子繁殖問題中有什么規(guī)律，請(qǐng)小組合作探究規(guī)律，并完成下表：

問題2：記上述問題中兔子的對(duì)數(shù)為數(shù)列an，寫出數(shù)列{an} 的遞推公式。

首先教師組織學(xué)生分小組合作探究規(guī)律，筆算完成上述表格。然后請(qǐng)各小組代表介紹探究過程，并反饋計(jì)算結(jié)果。教師引導(dǎo)學(xué)生修正完善研究過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，總結(jié)研究過程中好的思路和方法，并給予學(xué)生積極的評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)。教師介紹這個(gè)數(shù)列就是著名的斐波那契數(shù)列，其中的每一個(gè)數(shù)稱為斐波那契數(shù)。斐波那契數(shù)列在自然界和生產(chǎn)生活中有其方泛的應(yīng)用。教師借助多媒體演示請(qǐng)學(xué)生欣賞生活中出現(xiàn)斐波那契數(shù)列的實(shí)例。

【設(shè)計(jì)意圖】（1）使學(xué)生了解斐波那契數(shù)列的由來，并通過嘗試多種解決問題的方法，學(xué)生逐步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力。（2）使學(xué)生在合作交流中培養(yǎng)探索精神，提高合作意識(shí)。（3）使學(xué)生感受斐波那契數(shù)列在大自然和生活中的體現(xiàn)，了解活動(dòng)主題的實(shí)際意義，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步研究的欲望。

問題3：利用圖形計(jì)算器計(jì)算數(shù)列{an} 的前60項(xiàng)。

首先由學(xué)生利用TI-Nspire圖形計(jì)算器中數(shù)列的相關(guān)功能完成計(jì)算，然后由學(xué)生說明解決問題的方法，展示計(jì)算結(jié)果。

【設(shè)計(jì)意圖】通過借助圖形計(jì)算器解決問題，進(jìn)一步理解斐波那契數(shù)列的遞推關(guān)系，同時(shí)準(zhǔn)備數(shù)據(jù)以備進(jìn)一步研究問題。

3.環(huán)節(jié)三：研究斐波那契數(shù)列的性質(zhì)

問題背景：已知數(shù)列{bn} 滿足。

問題1.計(jì)算{bn} 前15項(xiàng)。

問題2.猜想數(shù)列{bn} 的項(xiàng)bn與斐波那契數(shù)列an的項(xiàng)an 有什么關(guān)系？

首先由學(xué)生筆算或借助圖形計(jì)算器自主完成，然后小組討論交流，最后小組代表展示結(jié)果，教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng)。

【設(shè)計(jì)意圖】由于斐波那契數(shù)列的這一性質(zhì)超出學(xué)生自主探究的能力范圍，因此在研究斐波那契數(shù)列性質(zhì)之前通過以上問題為學(xué)生搭建“墊腳石”，一方面使斐波那契數(shù)列在研究問題中出現(xiàn)，承上啟下，另一方面為學(xué)生接下來研究斐波那契數(shù)列的性質(zhì)做好鋪墊。

問題3.探究隨著n的增大，bn的值有何變化規(guī)律？

問題4.通過問題3，能得到斐波那契數(shù)列{an} 有什么規(guī)律？

鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法探究問題3，例如可通過遞推關(guān)系借助圖形計(jì)算器求得數(shù)列{bn} 的項(xiàng)bn的數(shù)值，觀察數(shù)值的變化規(guī)律。也可利用數(shù)列bn的圖像觀察變化規(guī)律。在解決問題3的基礎(chǔ)上，小組合作交流得到問題4的結(jié)果：隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的增加，斐波那契數(shù)列{an} 的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比越來越逼

近0.618，即。

教師進(jìn)一步提出黃金比值的概念，并通過PPT展示黃金分割（或黃金比值）在日常生產(chǎn)、生活中的作用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美。

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列的遞推關(guān)系，體會(huì)數(shù)列并能運(yùn)用遞推關(guān)系或利用圖像解決極限問題。

最后，對(duì)利用 TI-Nspire圖形計(jì)算器進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方面：一是借助恰當(dāng)?shù)膯栴}或問題情境，通過觀察、操作等數(shù)學(xué)活動(dòng)，為學(xué)生提供探索發(fā)展的空間；二是在學(xué)生探索問題的過程中，通過師生間的討論交流等多種合作逐步解決問題。