線性代數教材建設的認識與實踐

曹殿立

摘要：基于線性代數教材建設現狀研究，找出了線性代數教材建設存在的問題，提出了線性代數教材建設的原則，總結了作者線性代數教材建設的實踐。

關鍵詞：線性代數；教材建設；認識；實踐

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）16-0119-02

線性代數是高等院校的一門基礎課，也是研究生入學的必考課程。全面系統地掌握線性代數的理論與方法，對于學生的專業學習以及數學素質的培養具有重要作用。教材建設是人才培養的基礎。河南農業大學從面向21世紀教學改革以來，先后主編出版了工科、農科、經濟類等不同版本的線性代數教材。借鑒過去的經驗，2015年，在中華農業科教基金教材建設研究項目資助下，課題組深入開展了《線性代數課程的研究和教材建設》的研究，取得了一系列研究成果。

一、線性代數教材建設的現狀

針對傳統的線性代數課程概念多、內容抽象等諸多問題，從面向21世紀教學改革以來，廣大教師、教育工作者借鑒國外線性代數優秀教材的經驗[1]，結合中國教學實際，在線性代數課程內容和教材建設等方面進行了深入研究，取得的研究成果主要有：

1.課程內容方面：（1）強調由應用實例或問題引入概念，以便于概念的理解；（2）線性代數與解析幾何相融合，使代數概念形象簡單化；（3）將數學軟件引入課程內容，加強與信息技術的融合。

2.課程體系方面：（1）打破傳統體系結構，以矩陣引入，以線性方程組為核心和紐帶組織教學內容；（2）從線性方程組切入、以方程組和向量線性關系為邏輯主線、兩階段推進：第一階段，以行列式、矩陣作為計算工具、向量空間作為思維工具解決線性方程組問題；第二階段，延展空間與變換的思維能力，解決二次型問題；（3）以線性空間和線性映射構成課程主線，行列式、線性方程組和矩陣是主線的工具，二次型作為一個簡單的應用模型。

3.教材建設方面：與課程內容改革相適應，推出了一大批各具特色的教材，如：線性代數（第7版），同濟大學主編，高等教育出版社；線性代數（第3版），郝志峰主編，高等教育出版社；線性代數與解析幾何，陳發來主編，高等教育出版社；線性代數教程，羅桂生等主編，中國農業出版社；線性代數（第2版），陳維新等主編，科學出版社。

二、線性代數教材建設存在的主要問題

在面向21世紀教學改革的大背景下，百花齊放、百家爭鳴，一大批各具特色的教材應用于本科教學之中，為教學內容、課程體系的改革注入了活力，促進了線性代數教學改革。然而僅僅幾年之后，一部分教材就逐漸淡出了人們的視野。十多年后的今天，除了個別學校使用的自編教材外，全國范圍內使用的線性代數教材已屈指可數。那些被淘汰的教材，有的是在經典內容之后增加了現代數學軟件的應用，或者拓展了線性代數的應用，這勢必增加線性代數的課時。目前國內大多數高校的線性代數課時都在30—50之間，這與有限的課時相矛盾；有的教材為了概念的直觀化而引進了一些實例，有些實例超出了學生理解的能力，增加了教學負擔；有的教材刻意求新，使得課程體系混亂，造成概念、方法邏輯上的混亂[2]。

三、教材建設應把握的基本原則

教材是實現課程目標、實施教學活動的基礎。因此，作為教材，首先應當全面體現課程內容的系統性。其次，教材要符合學生的認知規律，有利于學生的學習；第三，教材要能夠教會學生科學地認識問題、解決問題的方法以及科學的學習方法。也就是說，教材不僅僅是知識的表述，更應該是學生學習的良師益友[3]。

四、線性代數教材建設的實踐

1.全面把握線性代數教學的目標，科學安排課程體系，組織教學內容。教育部頒布的《線性代數課程教學基本要求》，以及《全國碩士研究生入學統一考試數學考試大綱》中關于線性代數的考試內容和考試要求是線性代數教材內容的指導性文件。線性代數應圍繞《線性代數課程教學基本要求》，同時兼顧全國碩士研究生入學統一考試的要求組織教材。經典的線性代數宏觀的課程體系是：行列式→矩陣→線性方程組→向量空間→特征值與特征向量→二次型。該體系起點低、坡度緩、難點分散、脈絡清晰、邏輯體系嚴密，概念引入自然，方法循序漸進。比較其他課程體系，該宏觀體系獲得了大多數教師的認同，這也是課題組在長期的教學實踐中的最優選擇。

2.從課程的微觀內容的系統化、條理化入手，解決線性代數概念繁多等問題。線性代數中，定義、定理繁多的單元主要有：行列式的定義、逆矩陣、初等變換與初等矩陣、矩陣的秩、向量組的線性相關性、用正交變換化二次型為標準型等。這些單元的處理，一定要強調內容的系統性，由淺入深、由直觀到抽象、由特殊到一般，內容循序漸進、環環相扣，以符合學生的認知規律[4]。例如，處理向量組的線性相關性，首先給出線性相關性的兩個等價定義，然后以定義為基礎，從特殊到一般，依次給出單獨一個向量、兩個向量、向量組的部分向量與整體向量、個維向量、維向量組添加一個分量等情況下的線性相關性。在給出線性相關性的兩個等價定義時，首先從線性表示的直觀角度給出直觀定義，然后從線性組合的角度給出抽象定義，最后證明兩個定義的等價性。在討論向量組線性相關性的判定方法時，將應用線性相關性抽象定義的判定方法簡化為利用向量組的秩來判定并延伸至利用向量矩陣的非零子式包含的行或列的向量的線性無關性。這樣，在教學中，學生容易在思想上形成線性相關性的清晰脈絡，較好地把握線性相關性的知識體系。

3.多方位、多角度解決線性代數內容抽象的問題。線性代數的很多概念都是現實世界的高級抽象，難以直接給出實際背景，以至于學生在學習中常常是霧中看花，難得究竟。在教材建設中解決這個問題應從多方位、多角度出發，全方位加以解決。一方面，要加強教材語言的通俗性；另一方面，對于一些重要的概念，要盡量從實際背景引入；第三，在講清概念的基礎上，設置較多的應用實例來加深理解；第四，要重視抽象概念的舉一反三，在習題中設置較多的判斷題、填空題、選擇題等題型，強化訓練。

4.編寫配套的學習輔導教材，幫助教師和學生全面系統地把握教學內容。同步學習輔導教材應該包括以下板塊：（1）教學內容的系統歸納和總結；（2）重要概念辨析；（3）典型題例；（4）教材習題的詳盡解答。教學內容的系統歸納和總結，不是課本內容的縮寫，也不要面面俱到。要從全局的角度，提綱挈領，突出重點，簡明扼要，理清知識體系、知識脈絡，進一步提升學生把握知識的高度；對于重要概念辨析，要細致入微，能夠較好的解決學生學習過程中的疑惑；典型題例，要做到分類解析，有些題目還要一題多解，以開闊解題思路。還要給出一些高難度的題目，如全國研究生統一入學試題，為學有余力的學生做出參考。

5.數字化資源配套教材建設。以線性代數精品資源共享課建設為契機，建設與紙質教材配套的數字化立體教材，包括電子教材、教學課件、教學視頻、教學案例、題庫等，以彌補紙質教材的局限。使學生能夠通過網絡，隨時、隨地、全方位地進行學習。

6.重視數學文化的熏陶。在教材的每一章，設置數學文化內容，包括線性代數有關思想和方法的起源與發展、數學家的人物小傳、線性代數與各種文化的關系等，內容多與課程相結合[5]。不但有助于學生對知識背景的理解，而且培養了學生的數學素質。實踐證明，當數學文化的魅力真正滲入教材、到達課堂、溶入教學時，數學就會更加平易近人，數學教學就會通過文化層面讓學生進一步理解數學、喜歡數學、熱愛數學[5]。

教材建設是每一位教師的責任和義務，也是提高教師業務能力的有效途徑。

總結線性代數教材建設的經驗，對于我們即將編寫的十三五規劃教材具有重要意義。日前，課題組申報主編的線性代數教材已列為農業部十三五首批規劃教材。我們將認真做好教材的編寫工作，力爭編寫出有水平、質量高、師生滿意的教材。

參考文獻：

[1]張鵬鴿，等.對比國外優秀教材探索我國線性代數課程改革的新思路[J].大學數學，2010，（26）.

[2]劉文軍.新時期線性代數教材編寫的改革與思考[J].教育教學論壇，2013，（26）.

[3]於遒.編寫線性代數教材的幾點思考[J].高等數學研究，2014，（2）.

[4]程永勝，等.關于線性代數教材改革的幾點思考[J].科技信息，2009，（35）.

[5]李俊華，等.淺談數學思想在線性代數概念教學中的應用[J].教育教學論壇，2015，（10）.