基于“過程”理念的教學設計有效性的實踐與反思

張煒

[摘 要] 筆者結合浙教版九年級上冊“3.7正多邊形”概念的形成、概念的內涵，重點的掌握、難點的突破等數學概念知識的形成、理解、掌握和運用四個關鍵環節，淺談“過程”理念在教學設計有效性中的實踐與探索，以期拋磚引玉.

[關鍵詞] 教學設計；課堂有效性；過程理念

在尋覓數學的過程中落實數學

概念的發現

愛因斯坦曾說：提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決一個問題也許只是一個數學上或實驗上的技巧問題，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度看舊問題，卻需要創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步. 為此，筆者在浙教版九年級上冊“3.7正多邊形”（以下簡稱3.7節），讓學生在尋常物體中發現數學，尋找正多邊形出現的“倩影”. 在經歷正多邊形的發現過程中，體會概念學習的意義. 具體操作如下.

師：同學們，聽了孫楠的《五星紅旗》，我們黑板上方懸掛的五星紅旗漂亮嗎？

生（齊）：漂亮.

師：是的，這是我們中國人的驕傲. 從數學圖形的眼光看，五星紅旗中的美在于五角星的結構，大家看，如果把它設計成這樣可以嗎？（見圖1）

生紛紛搶答，形成共識：紅旗上的五角星（圖1的左側）看起來比較正，顯得神圣、莊嚴，不能更改.

師：同學們說得很好. 看來，數學圖形包含了豐富的蘊意. 用數學的眼光看，五角星（圖1）是從一種五邊形（圖2）中產生的，（幻燈片顯示正五角星）五角星上的五邊形有何特殊性呢？（提示：可以從五邊形的邊、角方面進行描述）

設計意圖 從現象到本質，從外觀到抽象，用數學的眼光看世界. 從圖形的比較、歸納、概括中形成概念，從特殊到一般.

生1：我發現它的邊和角（內角）都相等.

師：這個同學指出了這種多邊形的主要特征，你們認為應該怎樣稱呼呢？

生（齊）：叫正多邊形.

師：你們在身邊還能找到哪些類似的正多邊形呢？以小組為單位，比比誰的發現多，并指出判斷的依據.

設計意圖 從抽象回歸現實，從特殊到一般，學生在做中學. 筆者在巡視小組活動中發現，平時一些不愛舉手的同學也活躍起來. 正多邊形的概念及學習意義來源于“鮮活”的實例，直觀、具體. 這樣的數學活動，學生參與度高，寓教于樂.

在自我體驗的過程中享受中國

文化的內涵

師：你們覺得“正”字有怎樣的文化內涵？請大家把昨天自己的預習成果展示一下，請小組代表發言.

生2：我們從字典中了解到“正”字的含義如下……

生3：我們是從網上查詢到的內容……

生4：我們是從圖書館查閱的知識小百科……

老師將同學們的自學成果匯總如下，并一起朗讀一遍（投影顯示）.

正：中國漢字，多音字，讀作zhèng或者zhēng，表示不同的意思，常用讀音為zhèng，意思是不偏斜，平正，它象征著正氣、莊嚴、神圣.

師：下面請大家欣賞老師搜集的一些含有“正”字形的圖案（見圖3）

設計意圖 現在的數學課堂提到數學文化，就是課本里固有的幾個“單薄”的幾何定理：勾股定理、平方差公式的圖形解釋. 在很多師生的心目中，數學就是枯燥的代名詞，數字和字母很抽象，在他們的心目中，數學的美、數學文化永遠望塵莫及. 我國已故數學大師陳省身先生曾說過：數學有趣、數學好玩、數學很美. 細想，你不讓學生真正動起來，凡事都自己包攬，怎么會將數學冰冷的美麗化成火熱的思考呢？法國著名雕塑家奧古斯特·羅丹指出，這世界并不缺少美，而是缺少發現美的眼睛. 學生通過各種渠道進行查閱，各邊相等、各角相等的多邊形概念的抽象化成了學生自主學習的過程，拓展了正多邊形概念的視野，形成了學生對中國數學文化的內心震撼. 漢字只用一個簡單的“正”字就囊括了這種圖形的豐富內涵，這不就是中國數學文化的魅力嗎？

在動手實踐過程中探究知識的 重點

3.7節的重點是發現和掌握正多邊形的內角公式，以及根據內角公式結合正多邊形的外接圓確定相應的正多邊形. 如果學生認識了正多邊形的概念馬上進入內角公式的學習，未嘗不可，但會讓學生有突兀之感. 為什么學正多邊形的內角公式呢？為了讓學生心悅誠服地接受內角定理的出現，筆者做了如下整合.

師：正多邊形在生活中如此豐富，你能畫出哪些正多邊形？并介紹畫法.

（為了便于比較，假設正多邊形的邊長選定為4 cm）給學生作圖的時間（3～5分鐘）

設計意圖 教師改變一味灌輸的做法，把思考的時間和空間還給學生，給學生參與問題解決的過程. 教師改變“過程短暫”的做法，新課程倡導教師是學生學習的組織者、引導者、合作者，教師在巡視中發現學生的困難之處，因材施教.

師：我發現多數同學拿著筆束手無策，你們為什么感到困難呢？

生5：老師，我想畫正五邊形，但不知道正五邊形的內角是多少.

師（面向其他同學）：你們的困惑一樣嗎？

生（齊）：是的，不知道正多邊形的內角的大小.

師：每個正多邊形根據邊長都不好畫嗎？

生6：老師，我們組發現，等邊三角形可以畫三邊相等實現，正方形可以借助三角板本身有直角便于操作. 正三角形和正方形根據邊長的條件容易畫圖，但是從正五邊形開始就不好畫了. （見圖4）

師：看來，從正五邊形開始，正多邊形畫圖中除了考慮邊的因素，內角的大小也是關鍵. 每個正多邊形的內角的大小是多少呢？有何規律呢？

設計意圖 從動手畫到動手算，從學生的活動實踐過程中認識到內角公式的必然性. 著名作家肖川在《教育的理想與信念》一書中說：“當我們學會用等待的心情看待學生時，我們就會對學生少一點苛責、少一點失望、少一點冷漠，而多一份理解、多一份信心、多一份親切. ”新課程倡導教師“用教材而不是簡單地‘教教材”. 教師要創造性地使用教材，要在使用教材的過程中融入自己的科學精神和智慧，要對教材知識進行重組和整合，要選取更好的內容對教材進行深加工，設計出活生生的、豐富多彩的課堂，要充分有效地將教材的知識激活，形成有教師教學個性的教材知識，既要有能力把問題簡明地闡述清楚，也要有能力引導學生探索、自主學習.

在憤悱的反思過程中突破難點

教學參考中指出，3.7節的難點是正六邊形的尺規作圖思路，它只是為我們的教學設計提供了一定的參考依據，但是教材的難點還需要結合具體學情，難點是教學設計動態的產物. 由于學生不同，難點的確定也需要與時俱進. 在3.7這一節中，筆者通過課前預習調查的反饋，發現學生最大的困惑是前面幾節都是圓的直接性有關概念，如圓心角、圓周角、圓內接四邊形等，都與圓“結緣”. 而到了正多邊形，從標題上絲毫與圓“無緣”. 所以，在正多邊形的內角學習之后，馬上就拋出正多邊形的外接圓，這便成為學生學習的難點. 如何穿針引線、實現知識的有效銜接？如何給學生設計一個清晰的知識脈絡，實現課堂的和諧？筆者把正多邊形外接圓的形成過程作為作圖的探究點，在形成思維多樣性的同時，形成正多邊形的必要性，具體如下.

設計意圖 建構主義認為，學生不是被動的信息接受者，學習不是知識由教師到學生的簡單轉移或傳遞，而是在師生共同的活動中，教師通過提供幫助和支持，使學生主動地建構知識經驗，這種建構是任何人都不能代替的. 知識的意義不是簡單地由外部信息決定的，而是在學習過程中，通過新舊知識經驗反復地、雙向地相互作用建構獲得的. 每一個學習者都是在自己原有的經驗系統基礎上對新信息進行編碼，建構自己對信息意義的理解，而且原有的知識經驗會和新的信息相互作用，其本身也會產生調整和改變.

過程觀的教后反思

教學設計有效性應遵循教學“以學定教”的三個要素：學什么？為什么學？怎樣學？數學作為一門科學，來源于生活又服務于生活. 只有將數學融入生活，學生才會將數學冰冷的美麗化成火熱的思考. 本節課的教學設計，素材簡單、樸素，注重學生的現實生活，素材來源于草根性，具有“本土化”的特色.

本節課的教學設計主線自然、連貫. 首先，采用從學生熟知的國旗上的五角星發現“正”字的含義，體會生活中處處有數學，數學離不開生活，體會“正”字圖形的現實意義；其次，從國旗上的五角星發現正五邊形的必要性，根據五邊形與多邊形的聯系，揭示正多邊形的概念，這從特殊到一般的思考過程. 再用正五邊形類比其他正多邊形，從而體會正多邊形的概念. 另外，注重學生的直接經驗，根據學生對五角星的直觀認識，挖掘五角星的正多邊形背景，結合多邊形學生已有的認知，從正五邊形延伸到對其他正多邊形的比較、思考，以學生的直接經驗——國旗上的“正”字圖形的起源認識為主線，經歷正五角星到正五邊形直接經驗的鋪墊，從而為認識正多邊形概念的間接經驗的獲得提供認識基礎. 通過如何辨識正多邊形，引出正多邊形的概念，從如何畫正多邊形產生正多邊形的性質，從如何創造正多邊形的數學美引出正多邊形的外接圓概念，環環相扣，奇趣橫生，學生學得輕松，教學設計的結構夯實自然.

新課標指出，數學是研究數量關系和空間形式的科學，在教學設計中，每個環節都要體現數學作為科學的本質，教學設計要有“數學味”. 本節課的教學設計充分挖掘了數學的科學性，主要有三個關鍵詞：識、做、聯. 識，從眾多的生活素材認識、辨析正多邊形，從而形成正多邊形的學習意義的過程；做，就是讓學生的學習成為一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程；聯，就是給學習方式賦予時代的氣息，具有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、聯想、猜測、計算、推理、驗證等多維度的活動過程，改變教師一味灌輸、學生成為知識容器的機械記憶的教學設計過程.

孔子在《論語》中指出：“不憤不啟，不悱不發，舉一隅，不以三隅反，則不復也. ”其強調教師啟發式的教學設計要結合學生的“最近發展區”，符合學生的認知規律. 3.7節中的導入設計這一環節，教材提供了關于正六邊形的圖案素材作為引例，如果不考慮學生的實情，教師照本宣科，似乎也說得過去. 但目前的學生多數是教室、食堂、家庭三點一線，即使雙休日休息了，也對身邊的生活素材接觸不多. 筆者認為，在教學導入設計中采用國旗中的五角星作為引例，可以兼顧學生學習經歷的真實性，促進教學設計的社會價值和育人價值. 學生對于五角星耳熟能詳，又在教室里，既生動又具體. 這里的情感教育甚至愛國教育又都在學生課堂上的聽說讀寫中“流淌”，既經濟，又實惠.

建構主義認為，學生的學習有效性需要事實上的感知，不是空洞的說教本節課. 通過國旗中的五角星感知“正”的圖形意義的過程，聯系正五角星存在于正五邊形中，根據五邊形是多邊形的一個具體寫照的過程，類比其他正多邊形（如正三角形、正方形、正六邊形等），認識正多邊形的現實意義，通過眾多具體形象的歸納，概括正多邊形特征的過程，給出概念，符合數學認識的規律，具有合理的啟發式效果.

數學思想方法的學習不能是簡單抽象的結果，而是潤物細無聲的滲透過程. 本節課的數學思想方法內容豐富. 從特殊到一般，從歸納到抽象概括形成概念，這些都在學生的觀察、實驗、猜想、推理、歸納、驗證等科學的操作過程中實現，不是簡單地告知.

目前，教學設計中存在急功近利、不切實際的現象. 要么把數學教學設計簡單認為數學完全是數字和圖形符號的數學抽象，忽視數學與中國文化的結合，要么過分夸大國外數學的成果，忽視數學在中國發展歷史上的淵源. 說起中國數學，好像就只有勾股定理和九章算術. 教師不學習數學史尤其是中國的數學史，學生只知道勾股定理，忽視了數學知識的中國特色，以及數學知識的與時俱進. 數學文化育人價值的中國味不可小覷.

3.7節結合過程觀在教學設計上沒有只停留在認識幾個正多邊形的概念、會畫幾個正多邊形的圖案、會算幾個正多邊形的內角的過程，而是放眼在深刻挖掘教材的設計意圖上，培養學生體會圖形中所彰顯的數學文化底蘊的過程. 首先，通過學生課前的自主預習，主動探究“正”字的數學文化內涵. 通過中國古代藝術品到現代文明的紅旗設計以及通過圖片欣賞古代數學文化的傳承，感受中國人用正多邊形表達思想感情、追求美好生活、創造美好生活中國味的數學文化，通過課下正多邊形的數學設計作業，讓學生感受美、創造美.

古人云：“授之以魚，不如授之以漁. ”目前課堂教學中存在不良傾向，即盲目追求課堂的容量和深度，有專家已經指出：這樣的教學過程其實缺乏真正的“過程”，屬于天上掉下一個“林妹妹”的現象. 本節課的教學設計注重過程，注重數學方法的層次性和多樣性，結合過程教育，立足實現學生不僅知其然，更知其所以然.

新課標中指出：重要的數學概念和數學思想要體現螺旋上升的原則. 教學設計應具備全局的特色，層次性上要求教學過程由淺入深，因材施教. 本節課的教學設計從學生熟知的場景入手，讓學生經歷知識的形成過程、知識的理解和運用過程，強調了以學生的認知為主線（基礎知識和基本技能），通過層次性的數學活動實現蘊含在知識中的數學思想方法的體會與理解，并形成問題解決的經驗的過程. 第一個層次，先觀察紅旗中的五角星，從正五角星找到正五邊形的縮影，認識正多邊形的必要性，基礎差的同學也對此感興趣. 在這個層次中，落實了正多邊形從直觀感性認識到抽象概念的辨析與思考，提升了學生對含有“正”的圖形的認識，感受了中華民族文化的博大精深. 第二個層次，通過等邊三角形、正方形、正五邊形等作圖認識到正多邊形一個內角的計算公式為，感受正多邊形產生從定性到定量的過程，這也是正多邊形自身的實現方式，體現了思維的直接. 第三個層次，利用學生學過的圓內接正三角形、正方形等認知，猜想如何利用圓確定正多邊形，實現思維的多樣性，思考的層次性由直接到間接，從而產生圓內接正多邊形的概念，并且從內接正多邊形欣賞正多邊形構造的美麗圖案，到體會正多邊形的數形結合思想. 第四個層次，從圓的角度產生正多邊形也可以用五角星認識到中國五角星的美麗、正多邊形的魅力. 通過多樣性增強課堂教學設計的合理性. 首先，從視覺的感官中認識正多邊形的存在性和學習的必要性；其次，以正多邊形的作圖為主線，通過一系列動手操作，從直觀性的視覺到理論上的探究，從抽象的概念認識轉化為具體的數據來衡量，又從形到數、從抽象到具體的操作過程，通過一些具體的正多邊形作圖操作，從直接多邊形到輔助圓產生正多邊形，體會從一般到特殊，從直接到轉化的操作過程……認識到正多邊形產生的多樣性和數學的和諧美，認識到正多邊形創造生活多樣性美.

理念決定行動，正確的教學理念產生合理有效的教學行為，引領正確的教學設計. 新課程標準中的“過程觀”是我們教學設計的航標，細讀課程基本理念、仔細對照教材、認真落實過程，才會真正落實課堂教學有效性，我們的課堂有效性才能不成為一句空話.