各類曲線彎曲程度的探究

周易敏

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）19-106-02

一、引言

曲線在人們的生活中隨處可見，同時在人們的學習和工作中隨時都要面臨解決各類曲線的問題.曲率用來描述曲線的彎曲程度.曲線的曲率就是曲線上某點的切線方向角對弧長的旋轉速度.通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度.曲率越大，曲線的彎曲程度就越大.曲率在射影幾何當中也有著非常重要的作用.了解曲率就要建立在認識Frenet標架中的三點三線三向量的前提下進行.本文分別給出了各類曲率的基本概念，幾何意義和計算公式，并且對不同曲率關系進行了討論，給出了它們之間的區別和聯系，使我們在對曲率的學習中對曲線和曲面有深一步的認識.

二、曲線論中曲線的曲率

1、曲率的定義

我們首先研究空間曲線的曲率的概念.在不同的曲線或同一條曲線的不同點處，曲線彎曲的程度可能不同.為了衡量單位切向方向的變化率，需要將曲線上“動點的運動速率”進行統一規定.自然的想法是利用弧長參數化，考慮單位切向及其方向對于弧長的變化率.

要從直觀的基礎上引入曲率的確切的定義，我們首先注意到，曲線彎曲的程度越大，則從點到點變動時，其切向量的方向改變的越快.所以作為曲線在已知一曲線段的平均彎曲程度可取為曲線在兩端點間切向量關于弧長的平均旋轉角.所以我們用空間曲線在一點處的切向量對于弧長的旋轉速度來定義曲線在這一點的曲率.

四、結束語

本篇論文主要通過分兩大版塊，曲線論和曲面論，來分別介紹各大曲率的由來，基本定義以及計算公式.并且對每個曲率的幾何意義進行了研究，給出了一些在特殊情況下曲率的特殊結論和性質.通過對一些常用的或者說是特殊的曲線和曲面進行了單獨分析和計算，以例題的形式導出了它們的各個曲率的值.并且把曲率和內蘊量聯系在一起，分析了曲率的內蘊性質.對我們日后微分幾何的學習有一定的幫助.