高中數學延伸拓展教學的多維研究思路

孟琪

[摘 要] 學生數學素養的提升是教師進行高中數學教學的重要目的. 經過筆者對這種教學方式長期的深度思考以及不斷地實踐，總結出高中數學延伸拓展教學可從多個維度來體現，即數學知識概念的構建、問題解決的延伸以及思維規律的反思過程，其中最終反思的過程是延伸拓展教學的最重要的環節.

[關鍵詞] 延伸拓展；教學思路；研究維度

現如今的拓展延伸教學雖已有一定程度的發展，但想要走出常規思維中的，尤其是難度遞增的變式思路，還需要有更多理論和實踐的支撐. 怎樣準備延伸拓展的材料還有很大的探究空間，筆者在本文對拓展延伸的幾個維度作一探究.

[?] 概念構建，基于內涵外延實現延伸拓展

數學概念是所有數學知識點的根基所在，是歷代數學家潛心研究而濃縮出的精煉而嚴密的語句. 有時概念雖小，但每一個字都起著關鍵作用，對于學生理解并運用知識點具有重要意義. 筆者認為，應當加大對高中數學中概念教學的力度，利用拓展延伸的教學理念讓學生更加重視對概念的理解. 從本質上理解知識點，才能更加得心應手地解決數學問題、應對五花八門的題型.

例如，學生在小學和初中階段就已經對奇和偶的概念有了一定的認識，但當奇和偶的概念與函數產生關系時，是不是跟學生之前所了解的奇和偶有所不同呢？首先，教師應當先根據課本內容解釋函數奇偶性的具體概念. 蘇教版高中數學教材（必修1）中對函數奇偶性的定義是：一般地，設函數y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱y=f（x）是偶函數；如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱y=f（x）是奇函數. 從定義本身可以看出函數奇偶性的內涵，即關鍵在于對于某一定義域之內如果滿足自變量與因變量的對應的正負關系，那就存在著奇偶性.

正如前文所說，函數奇偶性的概念與學生之前所了解到的奇和偶是完全不一樣的概念，那么學生就會產生這樣的疑問：函數為什么要用“奇偶”來表示？函數的奇偶性與數字的奇和偶在概念上有什么樣的差異？對這些問題的理解每個人都有自己的看法，教師在了解了這些想法之后，就可以引導學生從書中找到對函數奇偶性的具體描述. 書中的引入部分對函數奇偶性概念的解釋是這樣的：在我們的日常生活中，可以觀察到許多對稱的現象：美麗的蝴蝶，盛開的花朵……教材先舉出日常生活中一些對稱的例子，接著介紹函數奇偶性的定義，強調：偶函數的圖像關于y軸對稱，奇函數的圖像關于原點對稱，這是對函數奇偶性的進一步解釋. 教材這樣安排的用意即要求學生理解從舉例到定義的給出，再到對定義的進一步解釋，三者存在對應關系，這就是數學教學延伸拓展的體現.

像這樣對概念作延伸拓展的例子還有很多，這樣的教學理念能讓學生對概念的理解更加全面，比如函數奇偶性，學生不僅僅能從拓展的內容了解到函數奇偶性是關于函數圖像對稱問題的討論，還能知道用“奇和偶”來表示這種特征的真正用意，從而洞悉數學概念的本質所在，體現學生理解數學概念的價值最大化. 比如學生對函數單調性的理解是這樣的：函數圖像在一定范圍內呈現出單一的變化趨勢，類似于我們在生活中所說的單調乏味的意思.

[?] 問題解決，基于發散思維實現延伸拓展

問題解決是高中數學教學的一個重要任務，與高考有著最為密切的聯系. 應試教育往往會導致學生在完成學習任務時，為了得到最終的固定答案，而減少對題目的深入理解和反思，這樣的做法與延伸拓展的理念是背道而馳的. 想要真正提高學生的數學素養，發散性思維的培養是必不可少的，這也是新課程標準改革對學生的能力要求. 這樣的教學方式不僅不會降低學生的應試水平，而且可以通過延伸拓展訓練讓學生更加自信地運用自己的發散性思維來解決各種各樣的問題.

這里簡單舉一個教材中的習題案例，蘇教版高中數學必修二中有這樣一道題：判斷圓與圓的位置關系. 對于這樣的基礎題，學生通常會不假思索地運用老師所講過的最基本思路和方法，即用坐標表示出兩個圓的圓心，求出兩者的距離，再與兩個圓的半徑之和作大小比較，最后快速得出答案. 很多學生對于該題的理解就到此為止，這樣的做法雖然能讓學生輕而易舉地解出正確答案，卻忽略了題目本身帶給學生思維培養的重要作用.

實際上，本題對學生發散性思維的培養是大有裨益的，發散性思維訓練也是對學生已有數學知識的一種復習及整合，幫助學生建立自己的數學知識體系. 在大家解出正確答案之后，教師可繼續追問學生這樣幾個問題：大家解出這道題所運用的解題思路是怎樣的？是否還有其他的解題思路呢？兩個方程以及兩個未知數，是否可以運用解方程組的知識來解決這道題？得出的解是否對本題答案的得出有幫助呢？這時學生的思維就不僅僅停留在原先的單一思路上，而是開始嘗試用不同的方法解出本題. 如果學生對教師的這幾個問題有比較好的反響，教師還可以進一步提出更高層次的問題：打破這兩個方程標準式的書寫，將方程進行拆分并相減，得到的直線方程與兩個圓又有怎樣的聯系？當然，這是一個難度較高的延伸拓展，教師可視學生課堂上的具體表現來決定拓展思路的難易程度.

即使是一道簡單的題目，也同樣具有多方位進行延伸拓展的價值，可使學生改變腦子里所固有的解題思維，將思維角度拉伸到更加廣泛的知識體系中去. 在實際教學中，有限的教學時間往往不允許教師在一道題目上停留太久，所以更多的是教師在講解完一到兩種思路之后，提出拓展問題留給學生進行自主思考和探究，目的在于增強學生思維發散的意識. 高中數學題型紛繁復雜且具有一定難度，發散性思維有助于學生在應對棘手問題時，能夠更加沉著、冷靜地分析并分解題目所給條件，化難為易，從而提高問題解決的能力.

[?] 學習反思，基于思維規律實現延伸拓展

學生的反思能力是高中數學學習能力的重要組成部分，與概念建構和問題解決不同的是，反思能力更多體現的是學生自身的學習品質問題，也不僅僅體現在數學學習方面，而是貫穿學生學習所有知識過程的始終. 反思的過程亦可謂對所學知識的延伸拓展過程，而當下的高中數學教學對反思這一過程的重視程度是遠遠達不到學生學習品質的培養要求的.

筆者曾經嘗試從數學概念建構、數學規律以及問題解決等方面來引導學生進行反思. 實際上，在問題解決這一環節所進行的反思活動，達到的效果是最佳的，學生因為應試需求，對問題解決環節的反思也最為重視. 然而在實際的教學模式中，出于對應試教育的考量，教師往往三言兩語將概念性的語句快速講解完，緊接著就開始用習題進行對知識點的鞏固，而不去反思知識點概念的本質，這非常不利于學生對數學概念的構建.

例如，在蘇教版高中必修一的函數概念與基本初等函數中學習到的分段函數，教材給出了一個實際生活中的問題，即出租車收費標準的問題：某市出租汽車收費標準如下：在3 km以內（含3 km）路程按起步價7元收費，超過3 km以外的路程按2.4元/km收費. 試寫出收費額y關于路程x的函數解析式.

這一問題的解決有兩個過程：一是生活事實向數學表達的抽象，這一步并不復雜；二是分段函數的得出. 有學生在解題過程中會寫出y=7，0

7+2.4（x-3），x≥3的表達式.而在教師給出y=7，0

7+2.4（x-3），x>3之后，有學生認為兩者并無本質區別. 于是，數學形式與數學本質之間的關系就成為可以延伸拓展的重要研究命題之一. 從教師的角度來講，教師必須知道數學內容與數學形式之間的關系；而對于學生的學習而言，需要讓學生知道的則是每一個數學內容都應當有對應的數學形式，數學形式背后是數學邏輯關系的體現. 只有認識到這一點，基于分段函數的延伸拓展教學，才有了純粹的數學意義.

高中數學延伸拓展教學有利于提高學生的數學能力，在高中數學教學過程中扮演不可或缺的重要角色. 普通高中數學課程標準明確要求，高中數學教學必須首先考慮學生的具體情況并結合固有的教學內容，在此基礎上進行延伸和拓展，讓學生不再只是為了做題而做題，而是真正對遇到的數學問題有自己獨到的見解和研究，這樣的拓展才能讓學生體驗到更為豐富、有趣的數學研究過程，從而增強自主解決問題的能力.

總而言之，高中數學教學的延伸拓展對學生各方面思維能力的培養具有重要意義，能夠促使學生在數學概念建構、問題解決以及反思的過程中，提高自身的數學素養和學習品質. 因而，我們要加大高中數學延伸拓展教學的多維研究.